Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+m+1=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow-x^3+3x^2-1=m\) có 3 nghiệm pb

Xét hàm \(f\left(x\right)=-x^3+3x^2-1=0\)

\(f'\left(x\right)=-3x^2+6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(2\right)=3\)

\(\Rightarrow\) Pt có 3 nghiệm pb khi \(-1< m< 3\)

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_2\left(x^2+4\right)-log_2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2+4\right)=log_2x+3\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2+4\right)=log_2\left(9x\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+4=9x\)

\(\Leftrightarrow x^2-9x+4=0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=9\) theo định lý Viet

-Các ước của 36 là 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Trong đó có số 2,3 là các số nguyên tố.

vậy các ước nguyên tố của 36 là:  2, 3.

- Các ước của 49 là 1,7,49. Trong đó có số 7 là số nguyên tố.

vậy ước nguyên tố của 49 là: 7.

-Các ước của 70 là 1,2,5,7,10,14,35,70. Trong đó có số 2,5,7 là số nguyên tố.

vậy các ước nguyên tố của 70 là: 2, 5, 7.

\(sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\3x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7\pi}{36}+\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{11\pi}{36}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Nghiệm âm lớn nhất: \(x_1=\dfrac{11\pi}{36}-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{13\pi}{36}\)

Nghiệm dương bé nhất: \(x_2=\dfrac{7\pi}{36}\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=-\dfrac{\pi}{6}\)

Góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60⁰

\(\Rightarrow\widehat{A'HA}=60^\circ\)

Tam giác AA'H vuông tại A: \(AH=AA'.cot60^\circ=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Tam giác ABC đều nên \(AH=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow BC=\dfrac{4a}{3}\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC\cdot AA'=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}a^3\).

\(g'\left(x\right)=f'\left(x\right)f\left(f\left(x\right)\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f\left(f\left(x\right)\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

\(f\left(f\left(x\right)\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x_1\left(x_1< -1\right)\\f\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)=x_1\left(x_1< -1\right):\) phương trình có 1 nghiệm.

\(f\left(x\right)=1:\) phương trình có 3 nghiệm.

Số nghiệm của phương trình \(g'\left(x\right)=0\) là 6.

ĐKXĐ: \(x>1\)

\(2log_5\left(x-1\right)-log_5\left(4x+m\right)=0\)

\(\Rightarrow log_5\left(x-1\right)^2=log_5\left(4x+m\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4x+m\)

\(\Rightarrow m=x^2-6x+1\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-6x+1\) với \(x>1\)

\(f'\left(x\right)=2x-6=0\Rightarrow x=3\)

\(f\left(1\right)=-4\) ; \(f\left(3\right)=-8\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(x>1\) khi \(-8< m< -4\)

\(\Rightarrow m=\left\{-7;-6;-5\right\}\) có 3 giá trị nguyên

\(f'\left(x\right)=x^2\left(x+2\right)\) có đúng 1 nghiệm bội lẻ \(x=-2\)

\(y=f\left(x^3-3x\right)\Rightarrow y'=\left(3x^2-3\right).f'\left(x^3-3x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x^2-3=0\\x^3-3x=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\left\{-1;1;-2\right\}\) hàm có 3 điểm cực trị

f
′
(
x
)
=
x
2
(
x
+
2
)
 có đúng 1 nghiệm bội lẻ 
x
=
−
2

y
=
f
(
x
3
−
3
x
)
⇒
y
′
=
(
3
x
2
−
3
)
.
f
′
(
x
3
−
3
x
)
=
0

⇒
[
3
x
2
−
3
=
0
x
3
−
3
x
=
−
2
  
⇒
[
x
2
−
1
=
0
(
x
−
1
)
2
(
x
+
2
)
=
0
 

⇒
x
=
{
−
1
;
1
;
−
2
}
 hàm có 3 điểm cực trị

Đặt \(3^x=t,\left(t>0\right)\)

Phương trình đã cho trở thành: \(t^2-2\left(m-1\right)t+2m+1=0\) (2)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m-1>0\\t_1+t_2=2\left(m-1\right)>0\\t_1\cdot t_2=2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\\m>1\\m< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>4\)