Bạn vào đây xem thử

Câu hỏi của bababa ânnnanana - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Áp dụng định lý Bezout ta được:

$f\left(x\right)$chia cho x+1 dư 2 $\Rightarrow f\left(-1\right)=2$

Vì bậc của đa thức chia là 3 nên $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left({}^{}+1\right)q\left(x\right)+a{}^{}+bx+c$

$=\left({}^{}+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(a{}^{}+a\right)-a+bx+c$

$=\left({}^{}+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\left({}^{}+1\right)+bx+c-a$

\(f\left(x\right)\) chia \(x+1\) dư 4 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)+4\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)P\left(x\right)+4=4\)

Do \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là đa thức bậc 3 \(\Rightarrow\) phần dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là bậc 2 có dạng \(ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)(1)

\(f\left(-1\right)=a-b+c=4\) (2)

Biến đổi biểu thức (1):

\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right).Q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) chia \(x^2+1\) dư \(bx+c-a\)

\(\Rightarrow bx+c-a=2x+3\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (2) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\\a-b+c=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=2\\c=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phần dư cần tìm là \(\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}\)

Theo Bơdu, ta có:

\(f\left(x\right):\left(x+1\right)\) dư 4

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

Vì đa thức chia \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) có bậc 3 nên đa thức dư có bậc \(\le2\). Đặt đa thức dư có dạng \(ax^2+bx+c\)

Gọi \(P\left(x\right)\) là đa thức thương. Ta có:

\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+a-a+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left[P\left(x\right).\left(x+1\right)+a\right]+bx-a+c\)

Vì \(f\left(x\right):\left(x^2+1\right)\)dư \(2x+3\)

\(\Rightarrow bx+c-a=2x+3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(f\left(-1\right)=ax^2+bx+c=4\)

\(\Leftrightarrow a-b+c=4\Leftrightarrow a+c-2=4\)

\(\Leftrightarrow a+c=6\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức dư là \(\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}\)

số dư là -1

\(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m\)

Do \(f\left(x\right)\) chia hết \(2x-5\), theo định lý Bezout:

\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\Rightarrow6.\left(\dfrac{5}{2}\right)^3-7.\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-16.\left(\dfrac{5}{2}\right)+m=0\)

\(\Rightarrow m=-10\)

Khi đó  \(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10\)

Số dư phép chia cho \(3x-2\):

\(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-7.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-16.\left(\dfrac{2}{3}\right)-10=-22\)

f(x)=6x3−7x2−16x+m

Do $f\left(x\right)$ chia hết $2x-5$, theo định lý Bezout:

�(52)=0⇒6.(52)3−7.(52)2−16.(52)+�=0f(25​)=0⇒6.(25​)3−7.(25​)2−16.(25​)+m=0

$\Rightarrow m=-10$

Khi đó  �(�)=6�3−7�2−16�−10f(x)=6x3−7x2−16x−10

Số dư phép chia cho $3x-2$:

�(23)=6.(23)3−7.(23)2−16.(23)−10=−22f(32​)=6.(32​)3−7.(32​)2

\(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m\)

Do \(f\left(x\right)⋮2x-5\) , theo định lý Bezout:

\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\Rightarrow6\left(\dfrac{5}{2}\right)^3-7\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-16\left(\dfrac{5}{2}\right)+m=0\)

\(\Rightarrow m=-10\)

Khi đó \(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10\)

Số dư phép chia cho \(3x-2:\)

\(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=6\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-7\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-16\left(\dfrac{2}{3}\right)-10=-22\)

Ta thấy 

\(f\left(x\right):g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^{100}+x^{99}+x^{98}+x^5+2020\right):\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+2x^{96}+2x^{95}+...2x^4+3x^3+2x^2+3x+2\right)\) có số dư là \(R\left(x\right)=3x+2022\)

\(\Rightarrow R\left(2021\right)=3.2021+2022=8085\)