Lời giải:

$x^2+55=4y^2$

$4y^2-x^2=55$
$(2y-x)(2y+x)=55$

Vì $x,y$ là số tự nhiên nên $2y+x, 2y-x$ là số nguyên và $2y+x>0$.

Mà $(2y-x)(2y+x)=55>0$ nên $2y-x>0$

Kết hợp với $2y+x\geq 2y-x$ ta có các TH sau:

TH1: $2y-x=1; 2y+x=55\Rightarrow y=14; x=27$

TH2: $2y-x=5; 2y+x=11\Rightarrow y=4; x=3$

Lời giải:

$x^2+55=4y^2$

$\Leftrightarrow 55=4y^2-x^2=(2y-x)(2y+x)$

Do $x,y$ là stn nên $2y+x$ là stn. 

$\Rightarrow 2y+x>0$. Mà $(2y+x)(2y-x)=55>0$ nên $2y-x>0$.

Vậy $2y+x> 2y-x>0$.

Khi đó ta có các TH sau:

TH1: $2y-x=1, 2y+x=55\Rightarrow y=14; x=27$ (tm) 

TH2: $2y-x=5; 2y+x=11\Rightarrow y=4; x=3$ (tm)

Đây là thử sức thôi nha. Mình biết làm rồi nên chắc chắn sẽ biết ai sai ai đúng

Thôi chờ mãi rồi mình trả lời luôn nha:

Vì 6029 chia cho 3 dư 2, 3x^2⋮3 nên 4y^2 chia cho 3 dư 2. Mà 4 chia cho 3 dư 1 nên y^2 chia cho 3 dư 2

Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên x và y ko có giá trị. (Mình chắc chắn)

x,y là số nguyên tố đúng ko?

giải hộ

Nếu mình ko nhầm thì ko tìm đc giá trị của x;y thỏa mãn đề bài

Thay \(x=\dfrac{7}{3}\) vào phương trình \(3x^2-10x+3m+1=0\), ta được:

\(3\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^2-10\cdot\dfrac{7}{3}+3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\dfrac{49}{9}-\dfrac{70}{3}+3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow3m-6=0\)

\(\Leftrightarrow3m=6\)

hay m=2

Thay m=2 vào phương trình \(3x^2-10x+3m+1=0\), ta được:

\(3x^2-10x+7=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x-7x+7=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)-7\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\3x-7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: m=2 và nghiệm còn lại của phương trình là \(x_2=1\)

VP lẻ => VT lẻ => x lẻ ; x =2n+1

<=> 3(4n^2 +4n+1) +4y^2 =6029

<=> 3(4n^2 +4n) +4y^2 =6026

VT chia hết cho 4 ; VP không chia hết cho 4 => Vô nghiem nguyên

Áp dụng bđt bunhia có:

\(\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{25}{4}\ge\left(x+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow x+y\le\dfrac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4y\\x^2+4y^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}16y^2+4y^2=5\\x=4y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(x^2+4y^2=x^2y^2-2xy\)

\(\Rightarrow x^2+4y^2+4xy=x^2y^2+2xy+1-1\)

\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2=\left(xy+1\right)^2-1\)

\(\Rightarrow\left(xy+1\right)^2-\left(x+2y\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left(xy-x-2y+1\right)\left(xy+x+2y+1\right)=1\)

Vì x,y là các số nguyên nên \(\left(xy-x-2y+1\right),\left(xy+x+2y+1\right)\) là các ước số của 1. Do đó ta có 2 trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-2y+1=1\\xy+x+2y+1=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-xy+x+2y-1=-1\\xy+x+2y+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+2y\right)=0\Rightarrow x=-2y\)

Thay vào (1) ta được:

\(-2y^2+1=1\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=0\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-2y+1=-1\\xy+x+2y+1=-1\left(1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-xy+x+2y-1=1\\xy+x+2y+1=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+2y\right)=0\Rightarrow x=-2y\)

Thay vào (1) ta được:

\(-2y^2+1=-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(y=1\Rightarrow x=-2;y=-1\Rightarrow x=2\)

Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa điều kiện ở đề bài là \(\left(0;0\right),\left(2;-1\right)\left(-2;1\right)\)