Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0 

Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)

\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(A\ge0\)(dpcm)

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

\(Để\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)

Thì \(\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)

Ta có : \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)=4\)(Áp dụng Cô-si dạng phân thức)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)(Đpcm)

   Học tốt ~~

Đặt cái ban đầu là A

Dầu tiên ta có

\(\text{(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b)}\)

\(=4\left(a+b+c+d\right)^2\)

Ta có: \(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{3a+c}{a+2b+c}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)

Tương tự ta có

\(\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}\)

\(\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}\)

\(\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}+\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)

\(\ge\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)+\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)+\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)+\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{16\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow A+2\ge2\)

\(\Leftrightarrow A\ge0\)

=4(a+b+c+d)2

Ta có: a−ba+2b+c +12 =12 .3a+ca+2b+c =12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c) 

Tương tự ta có

b−cb+2c+d +12 =12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d) 

c−dc+2d+a +12 =12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a) 

d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b) 

Cộng vế theo vế ta được

a−ba+2b+c +12 +b−cb+2c+d +12 +c−dc+2d+a +12 +d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b) +12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a) +12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d) +12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c) 

≥12 .(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b)2(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b) 

=12 .16(a+b+c+d)24(a+b+c+d)2 =2

⇒A+2≥2

bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi 

rồi được rồi nhưng hơi dài nên mình sẽ viết 2 lần nhé

do a;b;c;d bình đẳng với nhau nên ta đặt \(a\ge b\ge c\ge d>0\).Ta có:

Đặt cả cái bài là A => \(A\ge\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-d\right)+\left(c-d\right)\left(c-a\right)+\left(a-d\right)\left(b-d\right)}{3a}\)

đặt cái trên nhé là B => \(B=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd}{3a}\)

mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)=> \(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)=> \(B\ge0\)=>\(A\ge B\ge0\)

Vậy đó là điều phải chứng minh

trừ mỗi tỉ lệ cho 1 ta được:

\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}-\frac{a}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}-\frac{c}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}-\frac{d}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

+Nếu a+b+c+d\(\ne\)0 thì a=b=c=d lúc đó 

M=1+1+1+1=4

+Nếu a+b+c+d=0 thì a+b=-(c+d);b+c=-(d+a);c+d=-(a+b);d+a=-(b+c) lúc đó:

M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4

\(\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{a+b+2c+d+a+b+c+2d}{c+d}=\frac{2a+2b+3c+3d}{c+d}\)

\(=\frac{2\left(a+b\right)}{c+d}+\frac{3\left(c+d\right)}{c+d}=2.\frac{a+b}{c+d}+3\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{2a+b+c+d+a+b+c+2d}{a+d}=\frac{3a+3d+2c+2b}{a+d}\)

\(=\frac{3\left(a+d\right)}{a+d}+\frac{2\left(b+c\right)}{a+d}=3+2.\frac{b+c}{a+d}\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{2a+b+c+d+a+2b+c+d}{a+b}=\frac{3a+3b+2c+2d}{a+b}\)

\(=\frac{3\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(c+d\right)}{a+b}=3+\frac{c+d}{a+b}.2\)

\(\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+2b+c+d+a+b+2c+d}{b+c}=\frac{3b+3c+2a+2d}{b+c}\)

\(=\frac{3\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{2\left(a+d\right)}{b+c}=3+\frac{a+d}{b+c}.2\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=5\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}+\frac{a+2b+c+d}{b}+\frac{a+b+2c+d}{c}+\frac{a+b+c+2d}{d}=5.4=20\)

\(\Rightarrow3+\frac{a+b}{c+d}.2+3+\frac{b+c}{a+d}.2+3+\frac{c+d}{a+b}.2+3+\frac{d+a}{b+c}.2=20\)

\(\Rightarrow2.\left(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\right)=20-3-3-3-3\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}=8:2=4\)

vậy \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=4\)

Xét riêng lần lượt với các biểu thức   \(R=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)  và  

\(Q=\frac{b+c+d}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d},\)  ta có:

\(\text{*) }\) Ta biến đổi biểu thức  \(R\)  bằng cách cộng mỗi biểu thức trong nó với  \(1,\)  cùng lúc đó, ta tạo được một nhân tử mới cho  \(R\)  để phục vụ việc chứng minh. Khi đó,  \(R\)  sẽ mang dạng mới sau:

\(R=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)

nên   \(R=\frac{1}{3}.\left[3\left(a+b+c+d\right)\right]\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)

Đặt  \(x=b+c+d;\)  \(y=a+c+d;\)  \(z=a+b+d;\)  và  \(t=a+b+c\)

Không quên đặt điều kiện cho các ẩn số vừa đặt, ta có:

\(\hept{\begin{cases}x,y,z,t>0\\x+y+z+t=3\left(a+b+c+d\right)\end{cases}}\)

Ta biểu diễn lại các biểu thức  \(R\)  theo các biến vừa mới nêu sau đây:

\(R=\frac{1}{3}\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)-4\)

Mặt khác,  theo một kết quả quen thuộc được đúc kết từ bất đẳng thức  \(Cauchy-Schwarz\)  ta được:

\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\)

Và bằng phép chứng minh theo bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho  \(4\) số dương, ta dễ dàng đi đến kết luận rằng bất đẳng thức ở trên là một bất đẳng thức luôn đúng với mọi  \(x,y,z,t>0\)  

Khi đó,  \(R\ge\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)

\(\text{*) }\)  Tương tự lập luận cho biểu thức  \(Q,\)  ta cũng có đánh giá khá thú vị cho nó, điển hình:

\(Q\ge12\)

Mà  \(S=R+Q\ge\frac{4}{3}+12=5\frac{1}{3}\)

Cuối cùng, với  \(a=b=c=d>0\)  (thỏa mãn điều kiện) thì  \(S=5\frac{1}{3}\)  nên suy ra  \(5\frac{1}{3}\)  là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(S\)

\(\frac{4}{3}+12=\frac{40}{3}\) chu