Ta cần tìm số dư khi chia \(A\left(x\right)=x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(B\left(x\right)=x^2-1\)

Số dư của \(A\left(x\right)\) cho \(B\left(x\right)\) có bậc là 1. Đặt đa thức dư có dạng \(ax+b\)

Ta có : \(A\left(x\right)=B\left(x\right).H\left(x\right)+ax+b\)

Hay : \(A\left(x\right)=\left(x^2-1\right).H\left(x\right)+ax+b\)

+) Xét \(x=1\) thì : \(A\left(1\right)=a+b\)

\(\Leftrightarrow1+1+1-1-1+1=a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\) (1) 

+) Xét \(x=-1\) thì \(A\left(-1\right)=b-a\)

\(\Leftrightarrow-1-1+1-1-\left(-1\right)+1=b-a\)

\(\Leftrightarrow b-a=0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a=1,b=1\)

Vậy đa thức dư có dạng \(x+1\)

Vậy số dư của phép chia \(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(x^2-1\) là \(x+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)g\left(x\right)+ax+b\)

\(f\left(1\right)=\left(1^2-1\right)g\left(1\right)+a+b=1^{2015}+1^{1945}+1^{1930}-1^2-1+1=2\)

\(f\left(-1\right)=\left(\left(-1\right)^2-1\right)g\left(-1\right)+a\left(-1\right)+b=-1-1+1-1+1+1=0\)

\(\hept{\begin{cases}a+b=2\\-a+b=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy đa thức dư là : x + 1

Tuyệt vời. Cảm ơn em đã chia sẻ.

Cảm ơn nha :))

cảm ơn ạ

1/ \(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+ab=a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}\)

2/ \(F\left(x\right)=P\left(x\right).\left(x+2\right)+10\Rightarrow F\left(-2\right)=10\)

\(F\left(x\right)=Q\left(x\right).\left(x-2\right)+24\Rightarrow F\left(2\right)=24\)

Do \(x^2-4\) bậc 2 nên đa thức dư tối đa là bậc nhất có dạng \(ax+b\)

\(F\left(x\right)=R\left(x\right).\left(x^2-4\right)+ax+b\)

Thay \(x=-2\Rightarrow F\left(-2\right)=-2a+b=10\)

Thay \(x=2\Rightarrow F\left(2\right)=2a+b=24\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=10\\2a+b=24\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{7}{2}\\b=17\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) dư \(\frac{7}{2}x+17\)

3/Vì đa thức chia có bậc 2 nên đa thức dư có bậc 1, có dạng ax+b. Ta có :\(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}+x^2-x+1=Q\left(x\right).\left(x^2-1\right)+ax+b\)Thay x=1 được 4=a+b(1)

Thay x=-1 được 2=-a+b(2)

Cộng (1) và (2) được 6=2b suy ra b=3, từ đó suy ra a=1

Vậy dư là x+3

Bài 3:

Do \(x^2-1\) bậc 2 nên đa thức dư tối đa bậc nhất, giả sử có dạng \(ax+b\)

\(\Rightarrow x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}+x^2-x+1=P\left(x\right).\left(x^2-1\right)+ax+b\)

Thay \(x=1\Rightarrow4=a+b\)

Thay \(x=-1\Rightarrow2=-a+b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\-a+b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\)

Đa thức dư là \(x+3\)

Câu 4:

Đặt \(\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+xz+yz\)

Hmm, nhìn đến đây thì đoán bạn viết nhầm đề, đề đúng chắc vế phải là \(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\)

hoc lop 6 ma doi ra cau hoi lop 8

Áp dụng định lý Bezout ta được:

\(f\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 4 \(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

Vì bậc của đa thức chia là 3 nên \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(ax^2+a\right)-a+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)

Vì \(f\left(-1\right)=4\)nên \(a-b+c=4\left(1\right)\)

Vì f(x) chia cho \(x^2+1\)dư 2x+3 nên

\(\hept{\begin{cases}b=2\\c-a=3\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=6\\b=2\\c-a=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)

Vậy dư f(x) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)là \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)