cho 3 số thực thỏa mãn x2010+y2010+z2010=3 . tìm giá trị lớn nhất của x2+y2+z2
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = y 2 z 2 x ( y 2 + z 2 ) + z 2 x 2 y ( z 2 + x 2 ) + x 2 y 2 z ( x 2 + y 2 )
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x+y+z=1; x2+y2+z2=1; x3+y3+z3=1.
tính giá trị biểu thức P= x2008+y2009+x2010
Sửa đề: \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\)
Ta có: x+y+z=1
nên \(\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
mà 3>0
nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Thay x=-y vào biểu thức \(x+y+z=1\), ta được:
\(-y+y+z=1\)
hay z=1
Thay x=-y và z=1 vào biểu thức \(x^2+y^2+z^2=1\), ta được:
\(\left(-y\right)^2+y^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow y^2+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2=0\)
hay y=0
Vì x=-y
và y=0
nên x=0
Thay x=0; y=0 và z=1 vào biểu thức \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\), ta được:
\(P=0^{2008}+0^{2009}+1^{2010}=1\)
Vậy: P=1
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn: 5 x 2 + y 2 + z 2 = 9 x y + 2 y z + z x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y 2 + z 2 - 1 x + y + x 3 bằng
A. 18..
B. 12.
C. 16.
D. 24.
Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):
Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3
Câu 19. Giải phương trình: .
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
Câu 21. Cho .
Hãy so sánh S và .
Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:
Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:
Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
Câu 29:
a: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)(luôn đúng)
Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):
Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3
Câu 19. Giải phương trình: .
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
Câu 21. Cho .
Hãy so sánh S và .
Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:
Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:
Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
\(14,P=x^2+xy+y^2-3x-3y+3\\ P=\left(x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2\right)-3\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{3}{4}y^2-\dfrac{3}{2}y+3\\ P=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2-3\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\left(y^2-2y+1\right)\\ P=\left(x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-1\right)^2\ge0\)
Giúp e vs plzz sắp thi vào 10 chuyên rồi
Cho x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 +y2+xy=3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x2+y2-xy
\(x^2+y^2+xy=3\)
Có \(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge2xy+xy\) \(\Leftrightarrow xy\le1\)
\(x^2+y^2\ge-2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge-2xy+xy\) \(\Leftrightarrow-3\le xy\)
Đặt A= \(x^2+y^2-xy=\left(3-xy\right)-xy=3-2xy\)
mà \(-3\le xy\le1\) \(\Rightarrow9\ge3-2xy\ge1\)
=> minA=1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\) <=>x=y=1
maxA=9 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-3\\x=-y\end{matrix}\right.\) <=>\(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
Đặt \(P=x^2+y^2-xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{3x^2+3y^2-3xy}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}=\dfrac{x^2+y^2+xy+2\left(x^2+y^2-2xy\right)}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-y\right)^2}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow P\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(x=y=1\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+xy\right)-2\left(x^2+y^2+2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=3-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+xy}\le3\)
\(\Rightarrow P\le9\)
\(P_{max}=9\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + x y + 4 = 4 y + 3 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 ( x 3 - y 3 ) + 20 x 2 + 2 x y + 5 y 2 + 39 x .
Cho các số thực x, y, z thay đổi và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + 2 x z 2 − 8 x + y + z 2 − x y − y z + 2
A. min P = − 5
B. min P = 5
C. min P = 3
D. min P = − 3
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 - y 2 + 1 2 + 4 x 2 y 2 - x 2 - y 2 = 0 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 . Tính M + m
A. M + m = 3
B. M + m = 5
C. M + m = 2
D. M + m = 4
Biết x2+4y2+9z2=3 Tìm GTLN của S=2x+4y+6x
Cho x;y ∈ 𝑅 thỏa mãn x2+y2 -xy=4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C= x2+y2
a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
\(x^2+1\geq 2x\\ 4y^2+1\geq 4y\\ 9z^2+1\geq 6z\)
Suy ra \(S\leq 6\)
Dấu = xảy ra khi \(x=1;y=\frac{1}{2}; z=\frac{1}{3}\)