x^2 + 14x + y^2 - 2y + 7

( x^2 + 14 x+ 49 ) + ( y - 2y + 1) -43

( x-7)^2 + ( y-1)^2 - 43 

 Vậy Min của biểu thức là : -43 khi \(\hept{\begin{cases}\left(x-7\right)^2\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}=0\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-7=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}}\)

Phần b cũng tương tự như vậy nhé!

phần b sao tương tự được 

xem lại b có sai đề ko nhé

a) D=x²-3x+5=x²-3x+2,25+2,75=(x-1,5)²+2,75

Vì (x-1,5)²luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để D nhỏ nhất thì (x-1,5)²cũng phải nhỏ nhất hay (x-1,5)²=0 =>x=1,5

b)-43

bài dạng này chỉ có các bn thi violympic làm dc thui

tui làm phần E  nếu h sẽ lam hêt k thi bye

E = (x+7)² + ( y-1)² -49 -1 +7 

GTNN:  E = -43

a, x² + 10x + 27

Đặt A = x² + 2. x. 5 + 5² + 2

= ( x + 5 )² + 2

Vì ( x + 5 )² \(\ge\)0 với mọi x

=> ( x + 5 )² + 2 \(\ge\)2 với mọi x

Hay A \(\ge\)2

Dấu " = " xảy ra khi:

( x + 5 )² = 0

x + 5 = 0

x = - 5

Vậy Min A = 2 khi x = - 5

b, x² + x + 7

Đặt B = x2 + x + 7

\(=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{27}{4}\)

\(=\left[x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]+\frac{27}{4}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi x

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\ge\frac{27}{4}\)với mọi x

Hay B \(\ge\frac{27}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi:

\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(x+\frac{1}{2}=0\)

\(x=-\frac{1}{2}\)

Vậy Min B = \(\frac{27}{4}\)khi x = \(-\frac{1}{2}\)

a) x² + 10 x + 27 =( x² + 2. 5 . x + 5² ) + 2 = ( x + 5 ) ² + 2 

Vì ( x + 5 ) ² \(\ge\) 0 với mọi x nên ( x + 5 ) ² + 2 \(\ge\) 2 với mọi x

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x + 5 = 0 \(\Leftrightarrow\) x = -5

b) x² + x + 7 = 0 \(\Leftrightarrow\) x² + 2. x . \(\frac{1}{2}\)+  \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) + \(\frac{27}{4}\) = 0 \(\Leftrightarrow\)( x + 1/2) ² + 27/4  = 0

Vì  ( x + 1/2 )² \(\ge\) 0 với mọi x nên ( x + 1/2) ² + 27/4 \(\ge\)27/4 với mọi x

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x+ 1/2 = 0 \(\Leftrightarrow\) x = ---\(\frac{1}{2}\) 

c + d ) Tương tự a, b

e) x² + 14 x + y² - 2y +7 = 0 \(\Leftrightarrow\) ( x² + 2. x. 7 + 7² ) + ( y² -- 2y + 1 ) -43 = 0 \(\Leftrightarrow\) ( x + 7 ) ² + ( y -- 1 ) ²  --43 = 0 ( 1 ) 

Vì ( x + 7 )² \(\ge\)  0 và ( y -- 1 )² \(\ge\) 0 với mọi x, y nên  ( 1 ) \(\ge\) --43 với mọi x, y

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+7=0\\y-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}}\)

c, x² - 12x + 37

Đặt C = x² - 12x + 37

= x² - 2. x. 6 + 6² + 1

= ( x - 6 )² + 1

Vì ( x - 6 )² \(\ge\)0 với mọi x

=> ( x - 6 )² + 1 \(\ge\)1

Hay C \(\ge\)1

Dấu " = " xảy ra khi:

( x - 6 )² = 0

x - 6 = 0

x = 6

Vậy Min C = 1 khi x = 6

d, Tương tự như phần c :v

e, x² + 14x + y² - 2y + 7

Đặt E = x² + 14x + y² - 2y + 7

= x² + 14x + y² - 2y + 49 + 1 - 43

= ( x² + 14x + 49 ) + ( y² - 2y + 1 ) - 43

= ( x² + 2. x. 7 + 7² ) + ( y² - 2. y. 1 + 1² ) - 43

= ( x + 7 )² + ( y - 1 )² - 43

Với mọi giá trị của x và y. Ta có:

( x + 7 )² \(\ge\)0

( y - 1 )² \(\ge\)0

=> ( x + 7 )² + ( y - 1 )² \(\ge\)0

=>  ( x + 7 )² + ( y - 1 )² - 43  \(\ge\)- 43

Hay E \(\ge\)- 43

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}\left(x+7\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+7=0\\y-1=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy Min E = - 43 khi x = -7; y = 1

f, x² + 4xy + 2y² - 22y + 173 

Hình như đề sai :))

\(-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)

\(=-\left(x^2-4xy+4y\right)-\left(y^2+8y+16\right)-2\)

\(=-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2\)

Vì \(-\left(x+2y\right)^2\le0;-\left(y+4\right)^2\le\forall x;y\)

\(\Rightarrow-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2< 0\forall x;y\)

\(\Rightarrow dpcm\)

a) \(-x^2+4xy-5y^2-8y-18=-\left(x^2-4xy+5y^2+8y+18\right)\)

\(=-\left[\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+8y+16\right)+2\right]\)

\(=-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(y+4\right)^2\ge0\forall y\); \(2>0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2>0\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]< 0\)

\(\Rightarrow-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)luôn âm với mọi x ( đpcm )

Đặt \(A=x^2+4xy+2y^2-22y+173\)

\(A=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-22y+121\right)+52\)

\(A=\left(x+y\right)^2+\left(y-11\right)^2+52\)

\(\left(x+y\right)^2\ge0;\left(y-11\right)^2\ge0\) với mọi x;y => \(A=\left(x+y\right)^2+\left(y-11\right)^2+52\ge52\)

=>minA=52 <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=0\\\left(y-11\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-11=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-11\\y=11\end{cases}}\)

Vậy min=52 khi x=-11 và y=11

bài này mình làm tắt

\(B=-x^2-x-y^2-3y+13\)

\(B=\frac{31}{2}-\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)-\left(y^2+3y+\frac{9}{4}\right)\)

\(B=\frac{31}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(y+\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{31}{2}\)

=>maxB=31/2 <=>x=-1/2 và y=-3/2

a: =x^2+10x+25+2=(x+5)^2+2>=2

Dấu = xảy ra khi x=-5

b: =x^2+x+1/4+27/4

=(x+1/2)^2+27/4>=27/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

c: =x^2-12x+36+1=(x-6)^2+1>=1

Dấu = xảy ra khi x=6

d: =x^2-3x+9/4+11/4=(x-3/2)^2+11/4>=11/4

Dấu = xảy ra khi x=3/2

a.A= \(x^2+10x+27\)

\(=x^2+2.x.5+25+2\)

\(\left(x+5\right)^2+2\ge2\forall x\)

Dấu " = " xảy ra <=> x + 5 = 0

=> x = -5

Vậy Min A = 2 <=> x = -5

b.B = \(x^2-12x+37\)

\(=x^2-2.x.6+36+1\)

\(=\left(x-6\right)^2+1\ge1\forall x\)

Dấu " = " xảy ra <=> x - 6 = 0

=> x = 6

Vậy Min B = 1 <=> x = 6

c. \(x^2+x+7\)

\(=x^2+2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{27}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{4}\forall x\)

Dấu " =" xảy ra <=> \(x+\dfrac{1}{2}=0\)

\(x=\dfrac{-1}{2}\)

Vậy Min C = \(\dfrac{27}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)

\(F=x^2+4xy+2y^2-22y+173\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-22y+121\right)+52\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y-11\right)^2+52\)

\(\left(x+y\right)^2\ge0;\left(y-11\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow F\ge52\forall x,y\)

Dấu " =" xảy ra <=>

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=0\\\left(y-11\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\y-11=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-11\\y=11\end{matrix}\right.\)

Vậy Min F = 52 <=> x = -11; y = 11

Nguyễn Huy TúToshiro Kiyoshi giúp mk câu c và câu d

a) \(E=4x^2+y^2-4x-2y+3=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\ge1\) với mọi \(x;y\)

\(\Rightarrow\) GTNN của E là 1 khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=1\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\)vậy GTNN của E là 1 khi \(x=\dfrac{1}{2};y=1\)

b) \(G=x^2+2y^2+2xy-2y=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)-1\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2-1\ge-1\) với mọi \(x;y\)

\(\Rightarrow\) GTNN của G là \(-1\) khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=-1\end{matrix}\right.\) vậy GTNN của G là \(-1\) khi \(y=1;x=-1\)

c) \(H=x^2+14x+y^2-2y+7=\left(x^2+14x+49\right)+\left(y^2-2y+1\right)-43\)

\(=\left(x+7\right)^2+\left(y-1\right)^2-43\ge-43\) với mọi \(x;y\)

\(\Rightarrow\) GTNN của H là \(-43\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+7\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+7=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=1\end{matrix}\right.\) vậy GTNN của H là \(-43\) khi \(x=-7;y=1\)

d) câu này hình như đề sai