\(\frac{2x+2y-z}{z}=\frac{2x-y+2z}{y}=\frac{-x+2y+2z}{x} \)

=>\(\frac{2x+2y-z}{z}+3=\frac{2x-y+2z}{y}+3=\frac{-x+2y+2z}{x}+3\)

=>\(\frac{2x+2y+2z}{z}=\frac{2x+2y+2z}{y}=\frac{2x+2y+2z}{x}\)

=>\(\frac{x+y+z}{z}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{x}\)

=>\(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\)

Với \(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{8xyz}=\frac{-xyz}{8xyz}=-\frac{1}{8}\)

Với \(x=y=z\)\(\Rightarrow M=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{8xyz}=\frac{2x.2y.2z}{8xyz}=\frac{8xyz}{8xyz}=1\)

Bạn xét 2 trường hợp.

Nếu x+y+z=0 thì suy ra x+y=-z;y+z=-x;z+x=-y

Nếu x+y+z khác 0 thì áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

mình muốn hỏi cách tính x+y+z=0 cơ

Khác 0 

Đặt \(A=\frac{x+y+z}{3}+\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(A=\frac{x+y+z}{3}+\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{3}+\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt[3]{xyz}+\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{\sqrt[3]{xyz}.\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}}\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{2016}=24\sqrt{14}\) . 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x=y=z\\\sqrt[3]{xyz}=\frac{2016}{\sqrt[3]{xyz}}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=12\sqrt{14}\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(24\sqrt{14}\) tại \(x=y=z=12\sqrt{14}\)

nhận ra là bài này sai đề :)))

Bài 1

M=2x+y+z−15x+x+2y+z−15y+x+y+2z−15z

M=x+12−15x+y+12−15y+z+12−15z

M=x−3x+y−3y+z−3z

M=1−3x+1−3y+1−3z

M=3−(3x+3y+3z)

M=3−3(1x+1y+1z)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

⇒1x+1y+1z≥(1+1+1)2x+y+z=9x+y+z=34

⇒3(1x+1y+1z)≥94

⇒3−3(1x+1y+1z)≤34

⇔M≤34

Vậy M max=34

Dấu " = " xảy ra khi x=y=z=4

Bai nay tim GTLN moi dung nha

\(P=\frac{x}{x+3}+\frac{y}{y+3}+\frac{z}{z+3}=1-\frac{3}{x+3}+1-\frac{3}{y+3}+1-\frac{3}{z+3}\)

\(P=3-3\left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}\right)\le3-3.\frac{9}{x+y+z+9}=3-\frac{27}{12}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(x=y=z=1\)

\(M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}\)

\(M-3=\frac{x+y+z-15}{x}+\frac{x+y+z-15}{y}+\frac{x+y+z-15}{z}\)

\(M-3=\left(x+y+z-15\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge\left(x+y+z-15\right)\cdot\frac{9}{x+y+z}+3=\frac{3}{4}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=4\)

nhận ra là bài này sai đề :)))

Bài này đúng đề mà