ban chuyen ve tao hang dang thuc thu 2 . sau do dung co si hoac bunhia ngc .( neu dung cosi thi them tri tuyet doi , con d amung bunhia thi ko lo duong hay am

Xét hiệu: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(1\right)\) 

Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=A\) , (1) trở thành: \(A^2-3A+2=A^2-A-2A+2=A\left(A-1\right)-2\left(A-1\right)=\left(A-1\right)\left(A-2\right)\)

+Nếu a,b cùng dấu ,ta có:  \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) \(\ge2\) (c/m = biến đổi tương đương)

Do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=b

+Nếu a,b trái dấu ,ta có: \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le-2\)

do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=-b

Từ đó suy ra đpcm

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\).Dễ dàng chứng minh \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)nên \(a^2\ge4\),do đó \(\left|a\right|\ge2\)(1)

\(BDT\Leftrightarrow a^2-2+4\ge3a\)

\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\left(2\right)\)

Từ (1) suy ra \(a\ge2\)hoặc\(a\le-2\)

Bài toán đc CM

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1) . Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\left|x\right|=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\)

bpt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)+4\ge3x\Leftrightarrow x^2-3x+2\ge0\)

Xét bất phương trình sau : \(y^2-3y+2\ge0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-2\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\ge2\\y\le1\end{cases}}\)

Từ \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\) suy ra x nằm trong miền nghiệm của bất  phương trình đang xét , vậy x phải  thỏa mãn  \(y^2-3y+2\ge0\), tức là \(x^2-3x+2\ge0\)đúng.

Suy ra (1) đúng. Vậy ta có đpcm 

+TH1: a, b trái dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le0\)

\(\Rightarrow VT>0\ge VP\), bất đẳng thức luôn đúng

+TH2: a, b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|.\left|\frac{b}{a}\right|}=2\)

bđt \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Cần chứng minh \(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\text{ }\left(\text{đúng }\forall t\ge2\right)\)

\(a-b+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a-b\right)b.1}{b\left(a-b\right)}}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(VT=a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}-1\)

\(VT\ge4\sqrt[4]{\frac{4\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}{4\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}-1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2\end{matrix}\right.\)

\(\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}+b\ge4\sqrt[4]{\frac{b\left(a-b\right)^2}{4b\left(a-b\right)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)