Phân thức có nghĩa khi a;b;c không đồng thời bằng 0

Khi đó:

\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)

\(=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

a)Ta có :

(a+b+c)² - (ab+bc+ca) =0 <=> a²+b²+c²+ab+bc+ca =0

<=>2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca=0

<=>(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²=0

<=>a+b =b+c =c+a =0

<=>a=b=c=0

Vậy điều kiện để phân thức M được xác định là a;b;c không đồng thời bằng 0.

b)Ta có hằng thức: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

Ta đặt a²+b²+c²=x ; ab+bc+ca=y.Khi đó (a+b+c)²= x+2y

Ta có: 

\(M=\frac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

= a²+b²+c²+ab+bc+ca.

=a²+b²+c²+ab+bc+ca

Gt thêm nhe

a)\(M=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ac\right)}\)

Biểu thức có nghĩa\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ac\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-ab-bc-ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(a^2+2ac+c^2\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2\ne0\)

Mà \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)

nên M có nghĩa\(\Leftrightarrow a,b,c\)không đồng thời bằng 0

Nhân khai triển tử và mẫu của B, thấy ab + bc + ca thì thay bằng 1

quy đồng là ra

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

thay 1=ab+bc+ca vào M phân tích và rút gọn

bác giải ra luôn đi 

cháu càng nói thế bác càng k giải nhé :v

a: \(=\dfrac{\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

=a+b+c

b: 

Sửa đề: \(=\dfrac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)^3+z^3+3xy\left(x-y\right)+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(x-y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2-xz+yz+z^2\right)+3xy\left(x-y+z\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy-xz+yz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz\right)}\)

\(=\dfrac{x-y+z}{2}\)

a) \(\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}\)

\(=a+b+c\)