Chọn B

Với \(a,b>0\)

Ta có theo BĐT Cô-si:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))

Vậy \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với \(a,b>0\).

LẤY VÍ DỤ CỤ THỂ ĐI BẠN 

Giải:

\(a,b\) là các số dương \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>0\)

Không giảm tính tổng quát

Ta giả sử \(a\ge b\Leftrightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)

Nhận xét:

Trong một BĐT có chứa chữ, nếu các chữ \(a\) và \(b\) có vai trò như nhau, ta có thể thay \(a\) bởi \(b\); \(b\) bởi \(a\), do đó ta có thể sắp thú tự tùy ý cho nên trong cách giải trên ta đã giả sử \(a\ge b\) mà không sợ mất tính tổng quát.

Thiếu đk ab > 0.

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2ab\)

Vì ab > 0

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Ta có:

\(p\le n\le1,5p\)

\(\Leftrightarrow3p\le n+p+e\le3,5p\)

\(\Leftrightarrow3p\le18\le3,5p\)

\(\Leftrightarrow6\ge p\ge5,14\)

Với p=6 thì e=6 và n=6