Question

cho a , b là các số dương . chứng minh 1/(a+b)<= 1/4 nhân (1/a + 1/b) ( nhỏ hơn hoặc bằng nha mn)

Answer 1

Với \(a,b>0\)

Ta có theo BĐT Cô-si:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))

Vậy \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với \(a,b>0\).