tìm x thuộc Z để \(2003|x^2+x+1\)

Cho đường tròn (O;R) đường kính CD.Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=2R và tam giác ACD nhọn.Gọi giao điểm thứ hai AC và BD với đường tròn (O) theo thứ tự là B và E.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt OA ở điểm thứ hai I.Tính OI

tỉ lệ ba góc của tam giác là 1:2:4.Chứng minh rằng các giao điểm của đường phân giác và cạnh đối là đỉnh của một tam giác cân

Cho hình vuông ABCD với tâm O. M là trung điểm của AB. Các điểm N,P theo thú tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho MN //AP.Chứng minh rằng :

a) tam giác BNO đồng dạng tam giác DOP và góc NOP=45 độ

b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC

c)Ba đường thẳng BD,AN,PM đồng quy

cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1.Chứng minh

\(\dfrac{a}{a+b^2}+\dfrac{b}{b+c^2}+\dfrac{c}{c+a^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

cho số nguyên dương n thoả mãn \(2+2\sqrt{12n^2+1}\)là số nguyên.Chứng minh

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số chính phương

Chứng minh rằng \(1^2+2^2+3^2+...+2011^2+2012^2\)

không là số chính phương

Cho tam giác có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích của tam giác là t,thoả mãn:(a+b+c)(a+b-c)=4t.Chứng minh tam giác đó là tam giác vuông

Giải phương trình: \(2+3\sqrt[3]{9x^2\left(x+2\right)}=2x+3\sqrt[3]{3x\left(x+2\right)^2}\)