Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Minh Quý

cho 3 số dương a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=1. chứng minh rằng 1/ab + 1/bc + 1/ca >=3+ √(1/a²)+1 +√(1/b²)+1 +√(1/c²)+1

Neet
17 tháng 9 2017 lúc 20:29

Biến đổi like that:

\(VT=\sum\dfrac{1}{ab}=\sum\dfrac{ab+bc+ca}{ab}=\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)+3\)

nên chỉ cần :\(\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\ge\sum\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+1}=\sum\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}\)

Áp dụng AM-GM:

\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\le\dfrac{2a+b+c}{2a}\)

Áp dụng tương tự:

\(VP=\sum\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}\le\sum\dfrac{2a+b+c}{2a}=3+\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right)\)

BĐT đúng khi ta chứng minh được

\(VT=\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\ge3+\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\)

Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM:

\(\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\right)\ge\dfrac{1}{2}.6\sqrt[6]{\dfrac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)

\(\Rightarrow\)đpcm

Dấu = xảy ra khi a=b=c


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Ngân Nguyễn
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
Vân Trần Thị
Xem chi tiết
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Khanh7c5 Hung
Xem chi tiết