Lời giải:

\(\bullet\)Nếu $p=2$ thì \(10p+1\not\in \mathbb{P}\) (loại)

\(\bullet\) Nếu \(p=3\Rightarrow 10p+1\in\mathbb{P}\). Cùng lúc đó \(5p+1=16\) là hợp số.

\(\bullet\) Nếu \(p>3\Rightarrow p\not\vdots 3\). Xét 2 TH:

TH1: \(p=3k+1\)

Khi đó \(5p+1=5(3k+1)+1=15k+6\vdots 3\) . Mà \(15k+6>3\) nên là hợp số.

TH2: \(p=3k+2\Rightarrow 10p+1=30k+21\vdots 3\), lớn hơn $3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với đkđb)

Từ các trường hợp trên, ta có đpcm.

p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p + 1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
Từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
Mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẵn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p + 1 chia hết cho 2.3 = 6 
=> 5p + 1 là hợp số
 

nhưng đây là có p >3

 Câu trả lời hay nhất:  1) p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p+1 chia hết cho 2*3 = 6 

2) a nguyên tố > 3 nên là số lẻ và không chia hết cho 3 
=> k phải là số chẳn, vì nếu k lẻ thì a+k chẳn và > 2 nên ko là số nguyên tố 
đặt k = 3n+r (với r = 0, 1, 2) 
có: thì a+k = 3n+a+r và a+2k = 6n+a+2r 
* nếu a chia 3 dư 1 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 2 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 1 
nên ta phải có r = 0 
* nếu a chia 3 dư 2 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 1 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 2 
=> r = 0 
cả 2 trường hợp của a đều dẩn đến r = 0 => k chia hết cho 3 
Vậy k chẳn, chia hết cho 3 => k chia hết cho 6 

3) p và 2p+1 nguyên tố 
* nếu p = 3 thì p và 2p+1 đều nguyên tố, 4p+1 = 13 nguyên tố 
* xét p # 3 
=> 2p không chia hết cho 3, và 2p+1 là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3 
=> 2p+2 chia hết cho 3 (do 3 số nguyên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3) 

=> 2(2p+2) = 4p+4 = 4p+1+3 chia hết cho 3 => 4p+1 chia hết cho 3 

kết luận: 4p+1 nguyên tố nếu p = 3, và là hợp số nếu p nguyên tố # 3

tớ chỉ biết làm phần d thôi

            Vì p là số nguyên tố nên \(\Rightarrow\) p có dạng 3k,3k+1,3k+2

        +) Nếu p =3k \(\Rightarrow\)p =3 thì p+2=3+2=5

                                                  p+4=3+4=7 là số nguyên tố (chọn)

        +) Nếu p=3k+1 \(\Rightarrow\) p+2 =(3k+3) \(⋮\)3 là hợp số (loại)

        +) Nếu p=3k+2 \(\Rightarrow\)p+4=(3k+6)\(⋮\)3 là hợp số (loại)

                            Vậy số cần tìm là 3

Chỉ cần 1 cách của nhuyễn thanh tùng có thể giải quyết cả 4 câu nên 3 câu còn lại e tự làm tiếp nhé

a) +) Ta xét p=2 \(\Rightarrow\)p+10 =2+10=12   là hợp số trái với đề bài (loại)

                                p+14=2+14=16    là hợp số trái với đề bài (loại)

    +) Ta xét p=3\(\Rightarrow\)p+10=3+10=13    là số nguyên tố (chọn) 

                                p+14=3+14=17    là số nguyên tố (chọn)

    +) Nếu p=3k+1 thì p+10=3k+1+10=3k+11

                                p+14=3k+1+14=(3k+15)\(⋮\)3 là hợp số (loại)

     +) Nếu p=3k+2 thì p+10=3k+2+10 số (loại)

                               \(\Rightarrow\)(3k+12)\(⋮\)3 là hợp số (loại)

                                     Vậy p=3

NHỚ K NHA 

p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p+1 chia hết cho (2 . 3) = 6 (đpcm) 

p là số nguyên tố >3=>p=3k+1;3k+2

xét p=3k+2=>10p+1=10(3k+2)+1

=3.10k+20+1=3.10k+21=3(10k+7) chia hết cho 3

=>10p+1 là hợp số(trái giả thuyết)

=>p=3k+1

=>5p+1=5(3k+1)+1=3.5k+5+1=3.5k+6=3(5k+2) chia hết cho 3             (1)

p>3=>p=2q+1

=>5p+1=5(2q+1)+1=10q+5+1=10q+6=2(5q+3) chia hết cho 2               (2)

từ (1);(2)=>5p+1 chia hết cho 2;3

vì (2;3)=1=>5p+1 chia hết cho 6

=>đpcm

gt là gì

a)+) Với p = 2 => p + 10 = 2 + 10 = 12

Vì 12 là hợp số 

=> p + 10 là hợp số

=> p = 2  (loại)  (1)

+) Với p = 3 => p + 10 = 3 + 10 = 13 và  p  + 14 =3 + 14 = 17 

Vì 13 và 17 đều là các số nguyên tố

=> p = 3  ( thỏa mãn )  (2)

Với p>3 => p có dạng : 3k +1 ; 3k+2  (k thuộc N)

+) Với p = 3k + 1 => p + 14 = 3k+15 chia hết cho 3

Mà p + 14 là hợp số => 3k + 15 là hợp số 

=> p =3k +1  (loại)  (3)

+) Với p =3k + 2 => p+ 10 =3k +12 chia hết cho 3

Mà p + 10 >3 => 3k+12 >3 => 3k+12 là hợp số

=> p=3k +2  (loại)

Từ (1),(2),(3),(4)

=>p=3

Vậy p=3

Dòng thứ 8 là k thuộc N*

 1) p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p+1 chia hết cho 2*3 = 6 

2) a nguyên tố > 3 nên là số lẻ và không chia hết cho 3 
=> k phải là số chẳn, vì nếu k lẻ thì a+k chẳn và > 2 nên ko là số nguyên tố 
đặt k = 3n+r (với r = 0, 1, 2) 
có: thì a+k = 3n+a+r và a+2k = 6n+a+2r 
* nếu a chia 3 dư 1 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 2 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 1 
nên ta phải có r = 0 
* nếu a chia 3 dư 2 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 1 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 2 
=> r = 0 
cả 2 trường hợp của a đều dẩn đến r = 0 => k chia hết cho 3 
Vậy k chẳn, chia hết cho 3 => k chia hết cho 6 

3) p và 2p+1 nguyên tố 
* nếu p = 3 thì p và 2p+1 đều nguyên tố, 4p+1 = 13 nguyên tố 
* xét p # 3 
=> 2p không chia hết cho 3, và 2p+1 là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3 
=> 2p+2 chia hết cho 3 (do 3 số nguyên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3) 
=> 2(2p+2) = 4p+4 = 4p+1+3 chia hết cho 3 => 4p+1 chia hết cho 3 

kết luận: 4p+1 nguyên tố nếu p = 3, và là hợp số nếu p nguyên tố # 3

Tích tớ nha

1) p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p+1 chia hết cho 2*3 = 6 

2) a nguyên tố > 3 nên là số lẻ và không chia hết cho 3 
=> k phải là số chẳn, vì nếu k lẻ thì a+k chẳn và > 2 nên ko là số nguyên tố 
đặt k = 3n+r (với r = 0, 1, 2) 
có: thì a+k = 3n+a+r và a+2k = 6n+a+2r 
* nếu a chia 3 dư 1 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 2 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 1 
nên ta phải có r = 0 
* nếu a chia 3 dư 2 thì a+r chia hết cho 3 nếu r = 1 hoặc a+2r chia hết cho 3 nếu r = 2 
=> r = 0 
cả 2 trường hợp của a đều dẩn đến r = 0 => k chia hết cho 3 
Vậy k chẳn, chia hết cho 3 => k chia hết cho 6 

3) p và 2p+1 nguyên tố 
* nếu p = 3 thì p và 2p+1 đều nguyên tố, 4p+1 = 13 nguyên tố 
* xét p # 3 
=> 2p không chia hết cho 3, và 2p+1 là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3 
=> 2p+2 chia hết cho 3 (do 3 số nguyên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3) 
=> 2(2p+2) = 4p+4 = 4p+1+3 chia hết cho 3 => 4p+1 chia hết cho 3 

Kết luận: 4p+1 nguyên tố nếu p = 3, và là hợp số nếu p nguyên tố # 3

Tích nha

đúng đó

p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*)
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> 5p+1 chia hết cho 2*3 = 6

Chúc bn hok tốt

+ Do p nguyên tố > 3 => p chia 3 dư 1 hoặc 2

Nếu p chia 3 dư 2 thì p = 3k + 2 (k thuộc N*) => 10p + 1 = 10.(3k + 2) + 1 = 30k + 20 + 1 = 30k + 21 chia hết cho 3, là hợp số, loại

=> p = 3k + 1

=> 5p + 1 = 5.(3k + 1) + 1 = 15k + 5 + 1 = 15k + 6 chia hết cho 3 (1)

+ Do p nguyên tố > 3 => p lẻ => 5p lẻ => 5p + 1 chẵn => 5p + 1 chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2); do (3;2)=1 => 5p + 1 chia hết cho 6 (đpcm)

Bài này là chứng minh chứ ko fai tìm nha bn