Nếu n>0 => 3ⁿ+9n+36  chia hết cho 3 là hợp số ( loại )

Nếu n=0 => 3ⁿ+9n+36 = 1+0+36 =37 là số nguyên tố (nhận)

Vậy n=0

Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi số n lớn hơn hoặc bằng 5, điều kiện của đề bài không thỏa mãn.

Thật vậy, với \(n\ge5\), ta có:

+ Nếu n = 5k thì n + 15 chia hết 5. Vậy n + 15 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 1 thì n + 9 chia hết cho 5. Vậy n + 9 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 2 thì n + 3 chia hết cho 5. Vậy n + 3 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 3 thì n + 7 chia hết cho 5. Vậy n + 7 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 4 thì n + 1 chia hết cho 5. Vậy n + 1 là hợp số.

Vậy n < 5.

Để n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n + 15 đều là số nguyên tố thì n phải là số chẵn. Vì nếu n là số lẻ thì các số trên là số chẵn lớn hơn 2, và là hợp số.

Vậy n = 2 hoặc n = 4.

Với n = 2, ta thấy ngay n + 7 = 2 + 7 = 9, là hợp số.

Với n = 4, ta có các số 5, 7, 11, 13, 17, 19 đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là n = 4.

Thử n đến 3 không thỏa mãn

* n=4 thì các số là các số nguyên tố

*Xét n >4 thì các số đó đều lớn hơn 5

Xét các số dư khi chia n cho 5

+ Dư 1 thì n+ 9\(⋮\)5n+9\(⋮\)5

+Dư 2 thì n+13 \(⋮\)5n+13\(⋮\)5

+ Dư 3 thì n+7 \(⋮\)5n+7\(⋮\)5

+ Dư 4 thì n+1 \(⋮\)5n+1\(⋮\)5

+ Dư 0 thì n+15\(⋮\)5n+15\(⋮\)5

Không TM trường hợp nào cả

=>n = 4 là giá trị cần tìm

Ta có: Xét:

+n=0n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)

+n=1

n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)

+n=2

n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)

+n=3

n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)

+n=4

n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)

+n=4k+2

n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)

+n=4k+3

n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)

⇔n=4

\(P=3n^3-7n^2+3n+6\)

\(=3n^3+2n^2-9n^2-6n+9n+6\)

\(=n^2\left(3n+2\right)-3n\left(3n+2\right)+3\left(3n+2\right)\)

\(=\left(3n+2\right)\left(n^2-3n+3\right)\)

để p là nguyên tố thì 3n+2 hoặc n²-3n+3  phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài) 

*3n+2=1=>n=-1/3

*n²-3n+3=1<=>n²-3n+2=0

\(\Leftrightarrow n^2-2\times\frac{3}{2}n+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

                            \(\orbr{\begin{cases}n-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\n-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=1\end{cases}}}\)

nếu n= 2 thì (3n+2)(n²-3n+3)=(3.2+2).1=8 (ko phải số nguyên tố nên ta loại)

vậy n=1 

Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)

\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)

\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

Vì P là số nguyên tố nên 

\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)

\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy n=3

\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).

Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố. 

- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).

Để \(P\)là số nguyên tố thì: 

\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)

Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn. 

Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\). 

\(P=n^3+7n^2+25n+39=\left(n+3\right)\left(n^2+4n+13\right)\)

 Hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}n+3>1\\n^2+4n+13>1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=p^a\\n^2+4n+13=p^b\end{matrix}\right.\) với \(b>a>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮p\\n^2+4n+13⋮p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n^2+4n+13-\left(n+3\right)\left(n+1\right)⋮p\)

\(\Rightarrow10⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\p=5\end{matrix}\right.\)

- TH1: \(p=2\Rightarrow n+3=2^a\)

Do n nguyên dương \(\Rightarrow n+3\ge4\Rightarrow a\ge2\Rightarrow2^a⋮4\)

\(\Rightarrow n+3⋮4\Rightarrow n=4k+1\)

Đồng thời \(n^2+4n+13=2^b\), hiển nhiên \(b>2\Rightarrow n^2+4n+13⋮4\)

\(\Rightarrow\left(4k+1\right)^2+4\left(4k+1\right)+13⋮4\)

\(\Rightarrow4k\left(4k+6\right)+18⋮4\) (vô lý) 

\(\Rightarrow p=2\) không thỏa mãn

TH2: \(p=5\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=5^a\\n^2+4n+13=5^b\end{matrix}\right.\)  

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)+10=5^b\)

\(\Rightarrow5^a\left(5^a-2\right)+10=5^b\)

\(\Rightarrow5^{a-1}\left(5^a-2\right)+2=5^{b-1}\)

- Với \(a=1\Rightarrow b=2\)

- Với \(a>1\Rightarrow\) vế trái chia 5 dư 2, vế phải chia hết cho 5

\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b nguyên thỏa mãn

Vậy \(a=1\Rightarrow n=5^1-3=2\)