Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ và $E$ là điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó ($E$ khác $A$, $B$). Lấy điểm $H$ thuộc đoạn $EB$ ($H$ khác $E$, $B$). Tia $AH$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là $F$. Kéo dài tia $AE$ và tia $BF$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng $IH$ cắt nửa đường tròn tại $P$ và cắt $AB$ tại $K$.
a. Chứng minh tứ giác $IEHF$ nội tiếp được đường tròn.
b. Chứng minh $\widehat{AIH} = \widehat{ABE}$.
c. Chứng minh $\cos\widehat{ABP} = \dfrac{PK + BK}{PA + PB}$.
d. Gọi $S$ là giao điểm của tia $BF$ và tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn $(O)$. Khi tứ giác $AHIS$ nội tiếp được đường tròn, chứng minh $EF$ vuông góc với $EK$.