a: Ta có: \(-x^2+4x-5\)

\(=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+1\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1< 0\forall x\)

b: Ta có: \(x^4\ge0\forall x\)

\(3x^2\ge0\forall x\)

Do đó: \(x^4+3x^2\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^4+3x^2+3>0\forall x\)

c: Ta có: \(\left(x^2+2x+3\right)=\left(x+1\right)^2+2>0\forall x\)

\(x^2+2x+4=\left(x+1\right)^2+3>0\forall x\)

Do đó: \(\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+4\right)>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+4\right)+3>0\forall x\)​

b: Ta có: \(x^4\ge0\forall x\)

\(3x^2\ge0\forall x\)

Do đó: \(x^4+3x^2\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^4+3x^2+3>0\forall x\)

c: Ta có: \(\left(x^2+2x+3\right)=\left(x+1\right)^2+2>0\forall x\)

\(x^2+2x+4=\left(x+1\right)^2+3>0\forall x\)

Do đó: \(\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+4\right)>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+4\right)+3>0\forall x\)

a/ Do \(x\left(x+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

Mà 1 ko chia hết cho 2 \(\Rightarrow x\left(x+1\right)+1\) ko chia hết cho 2

b/ \(x^2+x+1=x\left(x+1\right)+1\) giống hệt câu a

c/ Do 3 chia hết cho 3 nên \(3\left(x^2+2x\right)\) chia hết cho 3

Mà 1 ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow3\left(x^2+2x\right)+1\) ko chia hết cho 3

d/ \(3x^2+6x+1=3\left(x^2+2x\right)+1\) giống hệt câu c

a) Ta đặt \(P\left(x\right)=x^2+x+1\)

\(P\left(x\right)=x^2+x-20+21\)

\(P\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x-4\right)+21\)

Giả sử tồn tại số tự nhiên \(x\) mà \(P\left(x\right)⋮9\) \(\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\). Do \(21⋮3\)  nên \(\left(x+5\right)\left(x-4\right)⋮3\). 

Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}x+5⋮3\\x-4⋮3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x+5⋮3\) thì suy ra \(x-4=\left(x+5\right)-9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)

Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.

Nếu \(x-4⋮3\) thì suy ra \(x+5=\left(x-4\right)+9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)

Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.

Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow x^2+x+1⋮̸9\)

b) Vì \(x^2+x+1⋮̸9\) nên \(y\le1\Rightarrow y\in\left\{0;1\right\}\)

Nếu \(y=0\Rightarrow x^2+x+1=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu \(y=1\) \(\Rightarrow x^2+x+1=3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)

a) Ta đặt 
�
(
�
)
=
�
2
+
�
+
1
P(x)=x 
2
 +x+1

�
(
�
)
=
�
2
+
�
−
20
+
21
P(x)=x 
2
 +x−20+21

�
(
�
)
=
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
+
21
P(x)=(x+5)(x−4)+21

Giả sử tồn tại số tự nhiên 
�
x mà 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 
⇒
�
(
�
)
⋮
3
⇒P(x)⋮3. Do 
21
⋮
3
21⋮3  nên 
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
⋮
3
(x+5)(x−4)⋮3. 

Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra 
[
�
+
5
⋮
3
�
−
4
⋮
3
​
  
x+5⋮3
x−4⋮3
​
 

Nếu 
�
+
5
⋮
3
x+5⋮3 thì suy ra 
�
−
4
=
(
�
+
5
)
−
9
⋮
3
x−4=(x+5)−9⋮3 
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9

Lại có 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên 
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.

Nếu 
�
−
4
⋮
3
x−4⋮3 thì suy ra 
�
+
5
=
(
�
−
4
)
+
9
⋮
3
x+5=(x−4)+9⋮3 
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9

Lại có 
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên 
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.

Vậy điều giả sử là sai \Rightarrow x^2+x+1⋮̸9

b) Vì x^2+x+1⋮̸9 nên 
�
≤
1
⇒
�
∈
{
0
;
1
}
y≤1⇒y∈{0;1}

Nếu 
�
=
0
⇒
�
2
+
�
+
1
=
1
y=0⇒x 
2
 +x+1=1

⇔
�
(
�
+
1
)
=
0
⇔x(x+1)=0

⇔
[
�
=
0
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
1
(
�
�
ạ
�
)
⇔[ 
x=0(nhận)
x=−1(loại)
​
 

Nếu 
�
=
1
y=1 
⇒
�
2
+
�
+
1
=
3
⇒x 
2
 +x+1=3

⇔
�
2
+
�
−
2
=
0
⇔x 
2
 +x−2=0

⇔
(
�
−
1
)
(
�
+
2
)
=
0
⇔(x−1)(x+2)=0

⇔
[
�
=
1
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
2
(
�
�
ạ
�
)
⇔[ 
x=1(nhận)
x=−2(loại)
​
 

Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là 
(
0
;
0
)
;
(
1
;
1
)
(0;0);(1;1)

a) \(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11.\left(a+b\right)\)

Vì 11⋮11 nên \(\overline{ab}+\overline{ba}\)⋮11

b) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-\left(10b+a\right)=10a+b-10b-a=9a-9b=9.\left(a-b\right)\)

Vì 9⋮9 nên với \(a>b\) thì \(\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\)

a)ab+ba

=a.10+b.1+b.10+a.1

=a.10+a.1+b.10+b.1

=a.(10+1)+b.(10.1)

=a.11+b.11

=11.(a+b)⋮11(vì 11⋮11)

b)ab - ba

= 10a + b - (10b + a)

= 10a + b - 10b - a

= 9a - 9b = 9(a - b)

Vậy ta suy ra 9(a - b) chia hết cho 9 hay ab - ba chia hết cho 9 (a > b)

Lời giải:

Ta có:

\(P=1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^{10}\)

\(\Rightarrow xP=x+x^2+x^3+...+x^{10}+x^{11}\)

Trừ theo vế:
\(xP-P=(x+x^2+x^3+...+x^{10}+x^{11})-(1+x+x^2+...+x^{10})\)

\(\Rightarrow \)\(xP-P=x^{11}-1\) (đpcm)

P.s: Bạn lưu ý lần sau nhớ viết công thức rõ ràng.