\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\Leftrightarrow ay-bx=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Cảm ơn bạn nhiều

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2\left(axby+bycz+axcz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+x^2c^2\right)+\left(c^2y^2-2bycz+b^2z^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(cy-bz\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\az=cx\\cy=bz\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).

Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)

Do đó x > 0 nên y > 0.

Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)

Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4) 

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).

Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).

Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.

Thay x = y vào (2) ta được:

\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))

PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v

Chỗ dấu bằng thứ hai sai nên bạn làm cũng chưa đúng

x^6 -y^6 = (x^2-y^2)(x^4 +x^2 .y^2 + y^4)

Bạn hiểu ra chỗ sai của mình chưa.Chúc bạn học tốt.

cho minh xin de

Phân đa thức thành nhân tử

a: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left(m-3\right)\left(m+2\right)< >0\)

hay \(m\notin\left\{3;-2\right\}\)

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+2\right)=0\\\left(m-3\right)\left(m-1\right)< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)

Để phương trình có vô số nghiệm thì m=3