1) Với điều kiện nào của a và b thì ta có tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}\)với c \(\ne\)0
2) Cho các số a,b,c,d \(\ne\)0, thỏa mãn \(b^2=ac\); \(c^2=bc\); \(b^3+c^3+d^3\)\(\ne0\)
Chứng minh: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
1) Với điều kiện nào của a và b thì ta có tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}\) với c \(\ne\) 0
2) Cho các số a,b,c,d \(\ne\) 0, thỏa mãn b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 +d3 \(\ne\) 0
Chứng minh: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
a) Cho tỉ lệ thức\(\frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\). So sánh hai tỉ số \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}}\) và \(\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}}\) với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.
b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với \(b + d \ne 0;b - d \ne 0\)
Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: \(k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.
- Tính tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) theo k.
- So sánh mỗi tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) với các tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{6}{{10}} = \frac{{6:2}}{{10:2}} = \frac{3}{5};\\\frac{9}{{15}} = \frac{{9:3}}{{15:3}} = \frac{3}{5}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{{15:5}}{{25:5}} = \frac{3}{5};\\\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{{ - 3}}{{ - 5}} = \frac{3}{5}\end{array}\)
Ta được: \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\)
b) - Vì \(k = \frac{a}{b} \Rightarrow a = k.b\)
Vì \(k = \frac{c}{d} \Rightarrow c = k.d\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{k.b + k.d}}{{b + d}} = \frac{{k.(b + d)}}{{b + d}} = k;\\\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{k.b - k.d}}{{b - d}} = \frac{{k.(b - d)}}{{b - d}} = k\end{array}\)
- Như vậy, \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) =\(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) = \(\frac{a}{b}\) =\(\frac{c}{d}\)( = k)
a: \(\dfrac{6+9}{10+15}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5};\dfrac{6-9}{10-15}=\dfrac{-3}{-5}=\dfrac{3}{5}\)
=>Bằng nhau
b: a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{bk+dk}{b+d}=k;\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{bk-dk}{b-d}=k\)
=>\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
B1 cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau a+b+c=d+1 và a^2+b^2+c^2=d^2+2d-1 chứng minh rằng (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là số chính phương
B2 cho biểu thức A=\(\frac{x^2}{y^2+xy}\)-\(\frac{y^2}{x^2-xy}\)-\(\frac{x^2+y^2}{xy}\)(xy\(\ne\)0,y\(\ne\)+-x)
A) rút gọn A
b)tính giá trị của A^2 biết x,y thỏa mãn điều kiện x^2+y^2=3xy
c) chứng minh rằng biểu thức A không nhân giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x,y thỏa mãn điều kiện ở trên
B3 tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn điều kiện 4x^2+2y^2-4xy-16x-2y+41=0
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d},b\ne0,d\ne0\)chứng tỏ ằng nếu \(a\ne+-b,c\ne+-d\)thì ta có các tỉ lệ thức :\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d},\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d},\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow\frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1\Leftrightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\) (1)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow1-\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\) (2)
Nhân vế (1) và (2) lại ta được:
\(\frac{a+b}{a}\cdot\frac{a}{a-b}=\frac{c+d}{c}\cdot\frac{c}{c-d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
Cho tỉ lệ thức\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)với a≠0,b≠0,c≠0,d≠0,a≠b,c≠d
chứng minh \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d},b\ne0,d\ne0\).Chứng tỏ rằng nếu \(a\ne\mp b,c\ne\mp d\) thì ta có các tỉ lệ thức:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d},\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d},\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
a) Ta có:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\) (1)
\(\frac{c}{c+d}=\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
b) Ta có:
\(\frac{a}{a-b}=\frac{bk}{bk-b}=\frac{bk}{b\left(k-1\right)}=\frac{k}{k-1}\) (1)
\(\frac{c}{c-d}=\frac{dk}{dk-d}=\frac{dk}{d\left(k-1\right)}=\frac{k}{k-1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
c) Ta có:
\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{b\left(k+1\right)}{b\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\) (1)
\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
1. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (với b+d \(\ne\) 0) ta suy ra được \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)
2. Cho a,b,c,d \(\ne\) 0 . Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) hãy suy ra tỉ lệ thức \(\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
1)\(VT=\frac{a}{b}=\frac{bk}{b}=k\left(1\right)\)
\(VP=\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ->Đpcm
2)\(VT=\frac{a-b}{a}=\frac{bk-b}{bk}=\frac{b\left(k-1\right)}{bk}=\frac{k-1}{k}\left(1\right)\)
\(VP=\frac{c-d}{c}=\frac{dk-d}{dk}=\frac{d\left(k-1\right)}{dk}=\frac{k-1}{k}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ->Đpcm
Hướng dẫn cách làm nè!
Đầu tiên làm ra nháp:
Xuất phát từ đầu bài: \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{a+c}{b+d}\)
=> a.( b+d ) = b.( a+c ) {tích chéo}
=>ab+ad = ab+bc {phân phối}
=>ad = bc {rút gọn cùng chia cho ab}
=>\(\frac{a}{b}\)= \(\frac{c}{d}\) {tính chất của tlt}
_Đó là phần nháp, còn trình bày bạn chỉ cần chép từ dưới lên:
\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)
=> ad=bc
=> ab+ad=ab+bc
=> a.( b+d )= b. (a+c)
=> \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{a+c}{b+d}\)
\(Cho\)\(a\ne b\ne c\ne d\ne0\)thỏa mãn điều kiện: \(b^2=ac;c^2=bd\)và\(b^3+c^3+d^3\ne0.CMR:\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\)
Ta có : \(b^2=ac\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (1)
\(c^2=bd\)
\(\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\) , \(\frac{b}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{c}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\) và \(\frac{c}{d}.\frac{c}{d}.\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{d}\) , \(\frac{b^3}{c^3}=\frac{a}{d}\) và \(\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Vậy \(\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\)
\(ADTCDTSBN,\)ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(1\right)\)
Lại có:\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{d}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(đpcm\right)\)
Các số a, , b , c , d thỏa mãn điều kiện :\(\frac{a}{3b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{3d}=\frac{d}{3a}\) và a+ b + c + d \(\ne\)0 .
Chứng minh a = b =c =d
Ta có:
\(\frac{a}{3b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{3d}=\frac{d}{3a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{3b+3c+3d+3a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}\)
\(=\frac{1}{3}\)
Với \(\frac{a}{3b}=\frac{1}{3}=>a=\frac{1}{3}.3b=>a=b\)
Với \(\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}=>b=\frac{1}{3}.3c=>b=c\)
Với \(\frac{c}{3d}=\frac{1}{3}=>c=\frac{1}{3}.3d=>c=d\)
Vậy a = b = c = d ( Đpcm )