Cho abc=1.Chứng minh \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
Những câu hỏi liên quan
Cho ΔABC(BC=a; AC=b; AB=c), chứng minh \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{2Rr}\)
Cho a,b,c>0;abc=1. Chứng minh rằng : \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ac}{c^4+a^4+ac}\)≤1
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
Đúng 1
Bình luận (1)
cho ba số thực a,b,c thõa mãn abc =1 chứng minh rằng\(\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}=1\)
Đặt \(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\) (*)
Ta có: \(abc=1\Rightarrow c=\frac{1}{ab}\).Thay vào (*) ta có:
\(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{\frac{a+ab+1}{a}}+\frac{1}{\frac{ab+1+a}{ab}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+1+a}\)
\(=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1=VP\) (Đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Đề:Cho biết abc 1. Chứng minh rằng:frac{a}{ab+a+1}+frac{b}{bc+b+1}+frac{c}{ac+c+1} là hằng số.Giải:Thay 1 abc vào biểu thức trên, ta có:frac{a}{ab+a+abc}+frac{b}{bc+b+abc}+frac{c}{ac+c+abc}frac{a}{aleft(b+1+abright)}+frac{b}{bleft(c+1+acright)}+frac{c}{cleft(a+1+abright)}frac{1}{b+1+ab}+frac{1}{c+1+ac}+frac{1}{a+1+ab}frac{abc}{b+abc+ab}+frac{1}{c+1+ac}+frac{1}{a+1+ab}frac{abc}{bleft(1+ac+aright)}+frac{1}{c+1+ac}+frac{1}{a+1+ab}frac{ac}{1+ac+a}+frac{1}{c+1+ac}+frac{1}{a+1+ab}frac{ac+1}{c+1+ac}...
Đọc tiếp
Đề:
Cho biết abc = 1. Chứng minh rằng:\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\) là hằng số.
Giải:
Thay 1 = abc vào biểu thức trên, ta có:
\(\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+abc}\)
\(=\frac{a}{a\left(b+1+ab\right)}+\frac{b}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{c}{c\left(a+1+ab\right)}\)
\(=\frac{1}{b+1+ab}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{abc}{b+abc+ab}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{abc}{b\left(1+ac+a\right)}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ac}{1+ac+a}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ac+1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ac+1}{c+abc+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ac+1}{c\left(1+ab+a\right)}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ac+1}{c\left(1+ab+a\right)}+\frac{c}{c\left(a+1+ab\right)}\) \(MTC:c\left(a+1+ab\right)\)
\(=\frac{ac+1+c}{c\left(1+ab+a\right)}\)
\(=\frac{ac+abc+c}{c+abc+ac}\)
\(=1\)
Vậy \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\) là hằng số khi abc = 1 (đpcm)
Trịnh Trân Trân <3
Cho a,b,c lớn hơn 0 và \(a+b+c\le6\)
Chứng minh:\(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{abc}\ge\frac{27}{8}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\ge\frac{27}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3}=\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}\)
Cộng lại ta được:
\(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge\frac{27}{8}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=2\)
Chứng minh rằng : Nếu abc=1 thì \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
do abc=1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}\)=\(\frac{a}{ab+a+abc}\)=\(\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}\)=\(\frac{1}{bc+b+1}\)
\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc}{abc+bc+b}\)(nhân cả 2 vế cho b)=\(\frac{bc}{bc+b+1}\)
=>\(\frac{a}{ab+a+1}\)+\(\frac{b}{bc+b+1}\)+\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc+b+1}{bc+b+1}\)=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\) biết abc=1
Thay abc = 1 vào biểu thức ta có
\(\frac{a.abc}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b.acb+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+ab^2c+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{1}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
= 1 (đpcm)
Nếu có gì không hiểu nhớ nt cho mình nha
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{abc}{a\cdot abc+abc+ab}\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}+\frac{1}{a+1+ab}\)
\(=\frac{ab+a+1}{ab+a+1}=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh A=\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ac}{b\left(1+ac\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\le\frac{a+b+c}{4}\)
Trong đó a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = abc
Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\) biết abc=1
Em xem phần trả lời của bạn Giang nhé Câu hỏi của Vu Hoang - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
1 cách khác:
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Khi đó:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{b+1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{c+1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{a+1+\frac{1}{c}}\)
\(=\frac{1}{\frac{y}{z}+1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{z}{x}+1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{y}+1+\frac{x}{z}}\)
\(=\frac{xz}{xy+yz+zx}+\frac{xy}{xy+yz+zx}+\frac{yz}{xy+yz+zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy+yz+zx}=1\)