Phương trình hoành độ của (d) và (P) : 

\(x^2=\left(2m-1\right)x+4\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x-4=0\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2+16>0\) ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

- A và B cách Oy nên \(x_A,x_B\) trái dấu ⇒ \(x_Ax_B< 0\Leftrightarrow P=\dfrac{c}{a}=-4< 0\)

⇒ Để thỏa đề bài, \(x_A+x_B=0\).

Theo định lí Vi-ét

 \(x_A+x_B=-\dfrac{b}{a}=2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Vậy : (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với khoảng cách từ A và B đến trục Oy bằng nhau khi \(m=\dfrac{1}{2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x² + 2x -m² + 1 = 0 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì pt này phải có hai nghiêm phân biệt x_D và x_E và x_D + x_E = 0

Áp dụng định lý Vi-et thì x_D +x_E = -2 \(\Rightarrow\)m \(\in\varnothing\)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx+2m-1=0(*)$

Để $(p)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt 

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2-(2m-1)>0\Leftrightarrow (m-1)^2>0\Leftrightarrow m\neq 1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=2m-1$

$(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm nằm khác phía trục tung

$\Leftrightarrow x_1x_2<0$

$\Leftrightarrow 2m-1<0\Leftrightarrow m< \frac{1}{2}$

Khoảng cách từ 2 giao điểm đến trục hoành là:

$|y_1|+|y_2|=|x_1^2|+|x_2^2|=5$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=5$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5$

$\Leftrightarrow (2m)^2-2(2m-1)=5$
$\Leftrightarrow 4m^2-4m-3=0$

$m=\frac{-1}{2}$ hoặc $m=\frac{3}{2}$

Vì $m\neq 1$ và $m< \frac{1}{2}$ nên $m=\frac{-1}{2}$

a.

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{1}{2}x^2=x-m\Rightarrow x^2-2x+2m=0\)

\(\Delta'=1-2m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\) (do (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt)

Để 2 điểm nằm cùng về phía trục tung thì 2 nghiệm \(x_1,x_2\) cùng dấu.

Mà theo vi ét \(x_1+x_2=2\Rightarrow\) 2 nghiệm cùng dương.

\(\Rightarrow x_1+x_2=2m>0\Leftrightarrow m>0\)

Kết hợp điều kiện ta có \(0< m< \dfrac{1}{2}\)

b.

Từ M đến trục tung là 2 \(\Rightarrow\) \(\left|x\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(M\in\left(P\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{1}{2}.2^2=2\\y_2=\dfrac{1}{2}.\left(-2\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M_1\in\left(2;2\right)\) và \(M_2\in\left(-2;2\right)\)

Bài 3 làm sao v ạ?

Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d) có:

\(x^2=\left(2m-1\right)x+8\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x-8=0\) (*)

Có \(ac=-8< 0\) => pt luôn có hai nghiệm trái dấu

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm pb có hoành độ trái dấu hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung

Hoành độ gđ của A và B là hai nghiệm của pt (*) mà \(x_1< x_2\Rightarrow x_1< 0< x_2\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)  (|)

Giả sử \(\dfrac{\left|x_1\right|}{\left|x_2\right|}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x_1}{x_2}=4\)\(\Leftrightarrow x_1+4x_2=0\)  (||)

Từ (|), (||) có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1+4x_2=0\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{1-2m}{3}\\x_1=\dfrac{4\left(2m-1\right)}{3}\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(1-2m\right)}{3}.\dfrac{4\left(2m-1\right)}{3}=-8\) \(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2=18\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{18}}{2}\)

Vậy...

Gợi ý :

a) y = 2 => x = 2 hoặc -2 ( do có thể < 0 hay > 0 )

b) S(OAB) = 1 => |x| = 1 => x = 1 hoặc -1

c) Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH

OH bé hơn hoặc bằng khoảng cách 2 của O tới điểm cố định trên Oy

=> max = 2 khi d song^2 Ox => x = 0 => đúng mọi m

d)  Thay vào biểu thức hệ thức lượng => khoảng cách từ O tới điểm mà d cắt trên Ox là 0 => d trùng Oy

e) thay x vào có kết quả

f) cắt tại điểm > 2 => biểu thức biểu diễn x > 2 ( -2/(m+3)   )