gấp

a) dễ thấy \(\widehat{AMC}\) \(=\) \(90^o\) xét (O) có đường kính \(AB\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ANB}\) \(=90^o\) hay \(\widehat{ANC}\) \(=90^o\) . tứ giác \(ANCM\) có :

\(\widehat{AMC}\) \(+\) \(\widehat{ANC}\) \(=90^o+90^o=180^o\) \(\Rightarrow\) tứ giác \(ANCM\)  nội tiếp 4 điểm \(A,N,C,M\) cùng \(\in\) 1 đường tròn

b) vì \(AB\) là đường kính của (O) \(\Rightarrow\) \(\stackrel\frown{AB}\) \(=180^o\)

mà \(I\) là điểm chính giữa của \(\stackrel\frown{AB}\) 

\(\Rightarrow\) \(A=\dfrac{\stackrel\frown{AB}}{2}\) \(=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

có \(\widehat{ANI}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{IA}\) 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ANI}\) \(=\dfrac{1}{2}\) ; \(A=\dfrac{1}{2}.90^o\) \(=45^o\) hay \(\widehat{ANM}\) \(=45^o\) . mặt khác ,   tứ giác \(ANCM\) nội tiếp \(\Rightarrow\) \(\widehat{ANM}\) \(=\) \(\widehat{ACM}\) mà \(\widehat{ANM}\) \(=45^o\) \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{ACM}\) \(=45^o\) lại có \(\Delta ACM\) cuông tại \(M\) \(\Rightarrow\) \(\Delta ACM\) vuông cân tại \(M\) 

\(\Rightarrow\) \(AM=CM\)

c) kẻ đường kính \(ID\) của (O) :

có : \(MN=IN-IM\) mà \(IN\) là dây của (O) nên hiển nhiên \(IN\le ID\) nhưng do \(IN\) không qua (O) nên \(IN< ID\) ₍₁₎ , dễ dàng chứng minh \(IO\perp AB\) tại \(O\) 

do vậy : \(\Delta IOM\) vuông tại (O) \(\Rightarrow\) \(IM>IO\) ( không xảy ra dấu " = " vì \(M\) không trùng với \(O\) ) 

\(\Leftrightarrow\) \(-IM< -IO\) ₍₂₎

từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\) \(IN-IM< ID-IO\) \(\Leftrightarrow\) \(MN< OD\) \(=R\) 

vậy ta có \(đpcm\)

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ANB=90\)

\(\Rightarrow\angle FNB+\angle FCB=90+90=180\Rightarrow BCFN\) nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\) 

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADB=\angle ACE=90\\\angle BAEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)

a: góc BNA=1/2*180=90 độ

góc FNB+góc FCB=180 độ

=>FCBN nội tiếp

b: góc ADB=1/2*180=90 độ

Xét ΔADB vuông tạiD và ΔACE vuông tại C có

góc A chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔACE
=>AD/AC=AB/AE

=>AC*AB=AD*AE

c: Xét ΔEAB có

EC,AN là đường cao

EC cắt AN tại F

=>F là trực tâm

=>BF vuông góc AE

mà BD vuông góc AE

nên B,F,D thẳng hàng

A,D,N,B cùng thuộc (O)

nên ADNB nội tiếp

=>góc ADN+góc ABN=180 độ

=>góc EDN=góc EBA

A,D,N,B cùng thuộc (O)

nên ADNB nội tiếp

=>góc ADN+góc ABN=180 độ

=>góc EDN=góc EBA

1:

góc AMB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AM vuông góc BD

góc ACD=góc AMD=90 độ

=>ACMD nội tiếp

góc KCB+góc KMB=180 độ

=>BMKC nội tiếp

2: Xét ΔCAK vuông tại C và ΔCDB vuông tại C có

góc CAK=góc CDB

=>ΔCAK đồng dạng với ΔCDB

=>CA/CD=CK/CB

=>CA*CB=CD*CK

a) Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn(A,M,B\(\in\)(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)

\(\Leftrightarrow AM\perp MB\) tại M

\(\Leftrightarrow AM\perp BD\) tại M

\(\Leftrightarrow\widehat{AMD}=90^0\)

Xét tứ giác ADMC có 

\(\widehat{AMD}=\widehat{ACD}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ACD}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AD

Do đó: ADMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\) mà \(\angle ECB=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp

2) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}EF\bot AB\\AF\bot EB\end{matrix}\right.\Rightarrow F\) là trực tâm tam giác EAB \(\Rightarrow BF\bot AE\)

mà \(BD\bot AE\left(\angle BDA=90\right)\Rightarrow B,F,D\) thẳng hàng

Ta có: \(\angle FNB+\angle FCB=90+90=180\Rightarrow FNBC\) nội tiếp

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta ABN:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACF=\angle ANB=90\\\angle NABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta ABN\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\Rightarrow AF.AN=AB.AC\)

Tương tự \(\Rightarrow BF.BD=BC.BA\)

\(\Rightarrow AF.AN+BF.BD=AB.AC+AB.BC=AB^2=4R^2\)

3) Gọi G là giao điểm của (AEF) và AB

Ta có: \(\angle FGB=\angle AEF\left(AEFGnt\right)=\angle DBA\left(BCDEnt\right)\Rightarrow\Delta GFB\) cân tại F có \(FC\bot GB\Rightarrow CB=CG\)

mà C,B cố định \(\Rightarrow G\) cố định

Vì AEFG nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AG mà A,G cố định \(\Rightarrow\) đpcm