Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Họ Và Tên
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 7 2021 lúc 16:30

Bài này hôm trước hình như bạn mới hỏi xong, vậy làm chi tiết cho đỡ băn khoăn:

Với các số dương a;b;c;x;y;z bất kì, ta chứng minh BĐT sau:

\(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{a^2b^2+x^2y^2+x^2b^2+a^2y^2}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2ab+2xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2b^2+x^2y^2+a^2y^2+b^2x^2}\ge ab+xy\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+x^2y^2+a^2y^2+b^2x^2\ge a^2b^2+x^2y^2+2abxy\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Từ đó suy ra:

\(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)

Áp dụng cho bài toán:

\(VT=\sqrt{\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\dfrac{z}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}\)

\(VT\ge\sqrt{\left(x+\dfrac{y}{2}+y+\dfrac{z}{2}+z+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}+\dfrac{\sqrt{3}z}{2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}=2\left(x+y+z\right)\) (đpcm)

Họ Và Tên
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 7 2021 lúc 16:38

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+4xy+8y^2}+\sqrt{4y^2+4yz+8z^2}+\sqrt{4z^2+4zx+8x^2}\ge4\left(x+y+z\right)\)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2x+y\right)^2+\left(\sqrt{7}y\right)^2}+\sqrt{\left(2y+z\right)^2+\left(\sqrt{7}z\right)^2}+\sqrt{\left(2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x\right)^2}\)

\(VT\ge\sqrt{\left(2x+y+2y+z+2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x+\sqrt{7}y+\sqrt{7}z\right)^2}\)

\(VT\ge\sqrt{16\left(x+y+z\right)^2}=4\left(x+y+z\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

lê minh
Xem chi tiết
Hiền Nguyễn
Xem chi tiết
Minh Triều
6 tháng 7 2015 lúc 15:45

ta có:

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

<=>(x+y+z)2=x2+y2+z2+2.(xy+xz+yz)

thay x+y+z=0 và xy+xz+yz=0 ta được:

02=x2+y2+z2=2.0

<=>x2+y2+z2=0

mà x2;y2;z2\(\ge\)0 nên

=>x=y=z=0 thì x2+y2+z2=0

vậy với x+y++z=0 và xy+yz+zx=0 thì x=y=z

Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Phạm Nguyễn Thế Khôi
24 tháng 4 2020 lúc 9:20

Violympic toán 9Violympic toán 9

Phương Hà
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết
Vương Đức Hà
28 tháng 7 2020 lúc 15:42

ủa đây là toám lớp 1 hả anh

Khách vãng lai đã xóa
Phan Nghĩa
28 tháng 7 2020 lúc 15:45

cauchy phần mẫu @@

Khách vãng lai đã xóa
WTFシSnow
28 tháng 7 2020 lúc 15:49

Forever_Alone tên là Anh nhưng ko bt họ

Khách vãng lai đã xóa
nguyễn minh quý
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
22 tháng 7 2017 lúc 10:20

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có

\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)

Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM

Khi \(x=y=z\)

belle_fille06
Xem chi tiết