Sai đề. VD: Với n=2=>A=1111(2.2=4 chữ số 1), B=444(2+1=3 chư số 4)

Khi đó: A+B+1=1111+444+1=1556

Mà 1556 ko phải là số chính phương.

Bạn xem lại đề nha

Ta có : 

bạn có nhầm lẫn cái j k vậy 

ta có: A=11..1  +    44..4+1

              2n c/s 1    n c/s 4

biến đổi \(A=111..1+4.11...1+1\)

\(A=\frac{10^{2n}-1}{9}+4.\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\frac{\left(10..02\right)^2}{9}=\left(3...34\right)^2\)  luôn là 1 số chính phương(đpcm)

bn tự bổ sung thêm những chỗ mk viết thiếu'... chữ số' nhé

                                                         n-1 c/s 3

a+b+1 = 111..11_(2n) +444...44_(n) + 1 =111...11_(n).10ⁿ + 111...11_(n) +4.111..11_(n) +1

                                                       = 111...11_(n).(10ⁿ-1)  +6.111..11_(n) +1 

                                                      = 333...33²_(n) +2.333...33_(n) +1  = ( 333.....3_(n)+1)²   dpcm

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

mjn nghj rang chac mjn da tra loj sai roi

\(A=444......4\) (\(2n\) chữ số 4) \(=4.1111.....111\) (\(2n\) chữ số 1) \(=4.\dfrac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=222.....22\) (\(n+1\) chữ số 2) \(=2.111....11\) (\(n+1\) chữ số 1) \(=2.\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\)

\(C=888....888\) (\(n\) chữ số 8) \(=8.111....1111\) (\(n\) chữ số 1) \(=8.\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(\Leftrightarrow A+B+C+7=\dfrac{4,10^{2n}+2.10^{n+1}+8.10^n-14}{9}\)

Ta dễ dàng chứng minh được công thức: \(111...1=\frac{10^n-1}{9}\)

(n số 1)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(a+b+1=111...1.10^n+111...1+111...1.4+1\)

(n số 1) (n số 1) (n số 1)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4\right)+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4+3\right)-\frac{10^n-1}{9}.3+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+8\right)-\frac{10^n-1}{3}+1\)

\(=111...1.3.333...36-333...3+1\)

(n số 1) (n - 1 số 3) (n số 3)

\(=333...3.333...36-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n - 1 số 3)

\(=333...3.333...34+333...3+333...3-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n số 3) (n số 3) (n - 1 số 3)

\(=333...34^2\), là số chính phương (đpcm)

(n - 1 số 3)

Ta có: M + N + 1 = 111...1 + 444...4 + 1

                             (2n c/s 1)(n c/s 4)

= 111...1 x 1000...0 + 111...1 + 111...1 x 4 + 1

 (n c/s 1)   (n c/s 0)    (n c/s 1) (n c/s 1)

= 111...1 x (1000...0 + 1 + 4) + 1

  (n c/s 1)   (n c/s 0)

= 111...1 x 1000...05 + 1

  (n c/s 1)  (n-1 c/s 0)

= 111...1 x 3 x 333...35 + 1

  (n c/s 1)      (n-1 c/s 3)

= 333...3 x 333...35 + 1

   (n c/s 1) (n-1 c/s 3)

= 333...3 x 333...34 + 333...3 + 1

  (n c/s 3)  (n-1 c/s 3) (n c/s 3)

= 333...3 x 333...4 + 333...34

 (n c/s 3) (n-1 c/s 3) (n-1 c/s 3)

= 333...34² là số chính phương (đpcm)

  (n-1 c/s 3)

Ta chứng minh được 

\(\overline{aaa....a}\) ( n số a)

\(=\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.a\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)}{9}+\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.4+1\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)+\left(10^n-1\right)4+9}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n\right)^2+2.10^n.2+2^2}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\)

Mặt khác  \(10^n+2=100...02\) ( n - 1 ) số 0

Tổng chữ số \(=1+0\left(n-1\right)+2=3⋮3\)

=> \(10^n+2⋮3\)

=> \(\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\in N\)

\(\Rightarrow\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\) là số chính phương

=> M+N+1 là số chình phương