đây nè bạn CMR: (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2? | Yahoo Hỏi & Đáp

VT có:

(ac+bd)^2=ac^2+2acbd+bd^2

(ad-bc)^2=ad^2-2adbc+bc^2

Suy ra (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=ac^2+ad^2+bc^2+bd^2

VP có:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2.c^2+a^2.d^2+b^2.c^2+b^2.d^2=ac^2+ad^2+bc^2+bd^2

Do đó: (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

Ta có : (a² + b² ) . ( c² + d² )

= a²c² + b²c² + a²d² + b²d² 

= (a²c² + 2abcd + b²d²) + (a²d² - 2adbc + b²c²)

= (ac + bd)² + (ad - bc)² 

Vậy (a² + b² ) . ( c² + d² ) = ( ac + bd )² + ( ad - bc )² (đpcm)

Tham khảo nha bạn:

Câu hỏi của Assasin red - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

....

VP=(a^2)(c^2)+2abcd+(b^2)(d^2)+ 
+(a^2)(d^2)-2abcd+(b^2)(c^2)
=a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=VT

BĐT cần c/m tương đương:

\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)

Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:

\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)

Lại có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)

a: \(BC^2-BD^2=AC^2+AB^2-AB^2-AD^2=AC^2-AD^2\)

b: Xét ΔBDC có 

AD<AC

mà AD là hình chiếu của BD trên DC

và AC là hình chiếu của BC trên DC

nên BD<BC