\(f\left(1\right)=1^4+2\cdot1^3-2\cdot1^2-6\cdot1+5\)

\(=1+2-2-6+5=0\)

=>x=1 là nghiệm

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^4+2\cdot\left(-1\right)^3-2\cdot\left(-1\right)^2-6\cdot\left(-1\right)+5\)

\(=1-2-2+6+5=12-4=8\)

=>x=-1 không là nghiệm

\(f\left(2\right)=2^4+2\cdot2^3-2\cdot2^2-6\cdot2+5\)

\(=16+16-8-12+5=8+4+5>0\)

Do đó: x=2 không là nghiệm

\(f\left(-2\right)=\left(-2\right)^4+2\cdot\left(-2\right)^3-2\cdot\left(-2\right)^2-6\cdot\left(-2\right)+5\)

\(=16-16-2\cdot4+12+5=17-8=9>0\)

Do đó: x=-2 không là nghiệm

\(\text{Thay x=1 vào biểu thức trên,ta được:}\)

\(f\left(x\right)=1^4+2.1^3-2.1^2-6.1+5\)

\(f\left(x\right)=1+2-2-6+5\)

\(f\left(x\right)=0\)

\(\text{Vậy x=1 là nghiệm của đa thức f(x)}\)

\(\text{Thay x=-1 vào biểu thức trên,ta được:}\)

\(f\left(x\right)=\left(-1\right)^4+2.\left(-1\right)^3-2.\left(-1\right)^2-6.\left(-1\right)+5\)

\(f\left(x\right)=1+\left(-2\right)-2-\left(-6\right)+5\)

\(f\left(x\right)=8\)

\(\text{Vậy x=-1 không phải là nghiệm của đa thức f(x)}\)

\(\text{Thay x=2 vào biểu thức trên,ta được:}\)

\(f\left(x\right)=2^4+2.2^3-2.2^2-6.2+5\)

\(f\left(x\right)=16+16-8-12+5\)

\(f\left(x\right)=17\)

\(\text{Vậy x=2 không phải là nghiệm của đa thức f(x)}\)

\(\text{Thay x=-2 vào biểu thức trên,ta được:}\)

\(f\left(x\right)=\left(-2\right)^4+2.\left(-2\right)^3-2.\left(-2\right)^2-6.\left(-2\right)+5\)

\(f\left(x\right)=16+\left(-16\right)-8-\left(-12\right)+5\)

\(f\left(x\right)=9\)

\(\text{Vậy x=-2 không phải là nghiệm của đa thức f(x)}\)

Ta có \(f\left(x\right)\)có nghiệm là x = -1

=> \(f\left(-1\right)=0\)

=> \(a^2\left(-1\right)^2-b+3=0\)

=> \(a^2-b=-3\)

=> \(-\left(a^2-b\right)=-\left(-3\right)\)

=> \(b-a^2=3\)

và \(g\left(2\right)=4b-2\left(2a^2+3\right)-5\)

=> \(g\left(2\right)=4b-4a^2+6-5\)

=> \(g\left(2\right)=4\left(b-a^2\right)+1\)

=> \(g\left(2\right)=4.3+1=13\ne0\)

Vậy x = 2 không phải là nghiệm của đa thức \(g\left(x\right)=bx^2-\left(2a^2+3\right)x-5\)

Rút gọn ta được :

\(f\left(x\right)=x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\)

Dễ thấy \(x^2+1>0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2>0\)

=> đa thức vô nghiệm ( đpcm )

\(f\left(x\right)=5x^3+2x^4-x^2+3x^2-x^3-x^4+1-4x^3\)\(=x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\)Dễ thấy \(x^2+1>0\)

=>\(\left(x^2+1\right)^2>0\)(Điều phải chứng minh)

 Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0. 
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x). 
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x. 
+ Thay x = 0 vào (1) ta được 
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0) 
=> 0 = 2.f(0) 
=> f(0) = 0 
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2) 

+ Thay x = -2 vào (1) ta được: 
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0 
=> f(-1) = 0 
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3) 
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

a) Thay x = 1 vào đa thức F(x), ta có:

F(1) = a.1² + b.1 + c = a+ b + c

Mà a + b + c = 0

Do đó, F(1) = 0. Như vậy x = 1 là một nghiệm của F(x)

b) Ta có: Đa thức 2x² – 5x + 3 có a = 2 ; b = -5; c = 3 nên a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0

Do đó, đa thức có 1 nghiệm là x = 1

\(a.\)

\(f\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

\(b.\)

\(g\left(x\right)=2x-4+x^2-x+6\)

\(g\left(x\right)=x^2+x+2=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\ge\dfrac{7}{4}\)

PTVN