Lời giải:

Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:

$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$

Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$

Thay vào PTĐT $(d)$:

$4bx+by-(4b+4b)=0$

$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$

$\Rightarrow 4x+y-8=0$

Đây chính là PTĐT cần tìm.

Help

Phương trình đường thẳng d có dạng:

\(y=kx-2k+1\)

Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2k-1}{k};0\right)\) ; \(B\left(0;-2k+1\right)\)

Để A, B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-1}{k}>0\\-2k+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó ta có: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=4\Leftrightarrow OA.OB=8\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2k-1}{k}\right)\left(-2k+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4k^2-4k+1=-8k\Leftrightarrow4k^2+4k+1=0\Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)

Viết pt đg thẳng (d₁) // (d) cắt Ox tại A, Oy tại B và S_∆AOB = 8

Gọi (d₂) có dạng y = ax + b và (d₂) // (d) \(\Rightarrow y=4x+b\)

A có tọa độ = (a;0) \(\Rightarrow O_A=\left|a\right|=4\)

B có tọa độ = (b;0) \(\Rightarrow O_B=\left|b\right|\)

Lại có \(\frac{1}{2}\left|ab\right|=8\Rightarrow\frac{1}{2}.4.\left|b\right|=8\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=4\\b=-4\end{cases}}\)

Ta có: \(3x+4y-12=0\)

\(\Leftrightarrow4y=12-3x\)

hay \(y=\dfrac{12-3x}{4}\)

Thay y=0 vào \(y=\dfrac{12-3x}{4}\), ta được:

12-3x=0

hay x=4

Thay x=0 vào \(y=\dfrac{12-3x}{4}\), ta được:

\(y=\dfrac{12-3\cdot0}{4}=\dfrac{12}{4}=3\)

Diện tích tam giác OAB là:

\(S=\dfrac{OA\cdot OB}{2}=\dfrac{3\cdot4}{2}=6\left(đvdt\right)\)

Ta có: \(3x+4y-12=0\)

\(\Leftrightarrow4y=12-3x\)

hay \(y=\dfrac{12-3x}{4}\)

Thay y=0 vào \(y=\dfrac{12-3x}{4}\), ta được:

12-3x=0

hay x=4

Thay x=0 vào \(y=\dfrac{12-3x}{4}\), ta được:

\(y=\dfrac{12-3\cdot0}{4}=\dfrac{12}{4}=3\)

Diện tích tam giác OAB là:

\(S=\dfrac{OA\cdot OB}{2}=\dfrac{3\cdot4}{2}=6\left(đvdt\right)\)