a) \(y^2=-2\left(x^6-x^3y-32\right)\Leftrightarrow2x^6-2x^3y+y^2=64\Leftrightarrow4x^6-4x^3y+2y^2=128\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-y\right)^2+y^2=128\)

# Chứng minh và áp dụng bất đẳng thức sau \(A^2+B^2\ge\frac{\left(A+B\right)^2}{2}\), ta có

\(\left(2x^3-y\right)^2+y^2\ge\frac{\left(2x^3-y+y\right)^2}{2}=2x^6\Leftrightarrow128\ge2x^6\Leftrightarrow x^6\le64\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Mà x nguyên (gt) nên x có các giá trị sau -2;-1;0;1;2

Thế các giá trị của x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y)

c) \(x^2-x-6=-y^2\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=-y^2\)

mà \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)nên \(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3\le0\\x+2\ge0\end{cases}}\)( do x-3 < x+2 )

\(\Leftrightarrow-2\le x\le3\)

mà x nguyên (gt) nên \(x\in\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}\)

Thế các giá trị x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y )

câu b) mình ko biết có cách nào hay ko chứ cách mình khá dài

\(x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+4y^2=100\Rightarrow4y^2\le100\Leftrightarrow-5\le y\le5\)

mà y nguyên (gt) nên \(y\in\left\{-5;-4;...;3;4;5\right\}\)

thế các giá trị y vào phương trình và giải tìm x ( lưu ý điều kiện nguyên của x )

Đặt A=x^2-6xy+13y^2=100

Biến đổi A ta được  A=(x-3y)^2 + (2y)^2 =100

Do 100=6^2 + 8^2 suy ra hoặc x-3y =6 và 2y = 8 hoặc x-3y=8 và 2y=6

giải ra ta được (x;y)={(18;4);(17;3)}

Đặt A=1-3x-2x^2 =-(2x^2+3X-1)

biến đổi A ta được A= -1/2 - 2(x+3/2)   =< -1/2

Dấu = xảy ra <=> x=-3/2

        Vậy biểu thức có giá trị lớn nhất là -1/2 <=> x=-3/2

a) Ta có: \(x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2z=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\)

Mà \(5=0^2+1^2+2^2\) nên ta có dễ dàng xét được các TH

Làm tiếp nhé!

b) Ta có: \(x^2+13y^2-6xy=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6xy+9y^2\right)+4y^2=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2=100-4y^2\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-3y\right)^2\ge0\\100-4y^2\le100\end{cases}}\Rightarrow0\le100-4y^2\le100\)

\(\Rightarrow y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5\right\}\)

Ta có các TH sau:

Nếu \(y=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=\pm10\)

Nếu \(y=\pm3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-9\right)^2=64\\\left(x+9\right)^2=64\end{cases}}\Rightarrow x\in\left\{17;1;-17;-1\right\}\)

... Tự làm tiếp nhé

a)\(5x^2+13y^2+6xy=12x-4y\)

\(\Leftrightarrow5x^2+6x\left(y-2\right)+13y^2+4y=0\)

pt có nghiệm:\(\Delta'=9\left(y-2\right)^2-65y^2-20y\ge0\)

\(\Leftrightarrow9y^2-36y+36-65y^2-20y\ge0\)

\(\Leftrightarrow-56y^2-56y+36\ge0\)

Mà \(y\in Z\)\(\Rightarrow-1\le y\le0\)

\(\Rightarrow y=0;1\)

Thay vào tìm x

Nốt câu b:

\(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)-3xy\left(x+y\right)-6xy-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y+2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+8-3xy\left(x+y+2\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x^2+y^2+2xy-2x-2y+4\right)-3xy\left(x+y+2\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x^2+y^2-xy-2x-2y+4\right)=7\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(x^2-6xy+9y^2+4y^2=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(2y\right)^2=6^2+8^2=0^2+10^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=6\\2y=8\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=8\\2y=6\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\2y=10\end{matrix}\right.\)

`x^2-6xy+13y^2=100`

`<=> (x^2-6xy+9y^2)+4y^2=100`

`<=> (x-3y)^2+4y^2=100`

Mà `100=0^2+10^2=6^2+8^2`

`=>` Chia trường hợp giải `x;y`

Kết luận: Vậy `(x;y)=(15;5),(10;0),(-15;-5),(-10;0),(18;4),(17;3),(6;4),(-1;-3),(-6;-4),(1;3),(-18;-4),(-17;-3)`