Ta có (x + y +z)² ≥ 0 suy ra x² + y² + z² + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

1 + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

xy + yz + zx ≥ - 1 / 2 

Thế thì min (xy + yz + zx) = - 1 / 2 khi x+ y + z = 0 và x² + y² + z² = 1 ( ♥ ) 

Lại có I xz I = I x I I z I ≤ 1 / 2 ( x² + z² ) = 1 / 2 ( 1 - y² ) ≤ 1 / 2 

Thế thì min ( xz ) = - 1 / 2 khi x = - z và x² + y² + z² = 1 và y = 0 ( ♣ ) 

Từ ( ♥ ) và ( ♣ ) cho ta 

min ( xy + yz + 2.zx ) = - 1 / 2 - 1 / 2 = - 1 

khi x = √2 / 2 ; y = 0 ; z = - √2 / 2 chẳng hạn 

P/C bạn dựa vào đk x + y + z = 0 ; x² + y² + z² = 1;y = 0 ; x = - z

\(x.x+y.y+z.z=12\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}=\frac{12}{3}=4\)

\(\Rightarrow x^2=1.4=4\Leftrightarrow x=2\)

\(y^2=1.4=4\Leftrightarrow y=2\)

\(z^2=1.4=4\Leftrightarrow z=2\)

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz:

\(x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\frac{36}{3}=12\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z\))

\(pt\Leftrightarrow3x^2=12\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=2\\x=y=z=-2\left(L\right)\end{cases}}\)(Vì x + y + z = 6)

Vậy x = y = z = 2

ĐK: \(x,y,z\ne0\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-xz-yz\\xz--xy-yz\\yz=-xy-xz\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-xz=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2yz}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+2xz}=\dfrac{1}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2xz}+\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\dfrac{y-z-\left(x-z\right)+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{y-z-x+z+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=0\) (đpcm)

a)

\(\frac{x}{10}=\frac{y}{15}=>\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)

\(x=\frac{z}{2}=>\frac{x}{2}=\frac{z}{4}\)

=> x/2=y/3=z/4=\(\frac{x+2y-3z}{2+4-12}=\frac{-24}{-6}=4\)

x=4x2=8

y=4x3=12

z=4x4=16

DK : \(x,y,z\ge\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có :

\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)\)

\(+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)

Dễ thấy : \(VT\ge0\forall x,y,z\)

" = " \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}}\)

Chúc bạn học tốt !!! 

ĐK: \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)

hệ pt <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}2x+2y=2\sqrt{4z-1}\\2y+2z=2\sqrt{4x-1}\\2z+2x=2\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)

=> \(4x+4y+4z=2\sqrt{4z-1}+2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}\)

<=> \(\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}4x-1=1\\4y-1=1\\4z-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)(tm đk)

Thử vào thỏa mãn.

Vậy...

áp dụng BĐT C-S dạng engel : A >/ x+y+z

 áp dụng BĐT AM-GM x+y+z >/ căn xy + căn yz + căn zx 

=>minA = 1

co ai giup em voi

bạn ghi rõ ra dùm mình vs bạn Hoàng Phúc.mình chua học bdt này nên hơi khó hiểu tí