giải xog thì chớt

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\\4x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le4\\x^2\ge4\\4x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)

Thay \(x=2\) vào pt ta được:

\(3+\sqrt{y^2-2y+1}=5-y\)

\(\Leftrightarrow\left|y-1\right|=2-y\) (\(y\le2\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-1=2-y\\y-1=y-2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của pt là \(\left(x;y\right)=\left(2;\frac{3}{2}\right)\)

Bài 1)

Ta biết ĐKXĐ:

\(\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^2-4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-4=0\rightarrow x=\pm2\)

Mặt khác \(4x+1\geq 0\Rightarrow x=2\)

Thay vào PT ban đầu : \(\Rightarrow 3+|y-1|=-y+5\Leftrightarrow |y-1|=2-y\)

Xét TH \(y-1\geq 0\) và \(y-1<0\) ta thu được \(y=\frac{3}{2}\)

Thu được cặp nghiệm \((x,y)=\left (2,\frac{3}{2}\right)\)

Bài 2)

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\leq 1\Leftrightarrow A=\left(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\right)^2\leq 1\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz kết hợp AM-GM:

\(A\leq \left ( \frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{x-z}{x}+\frac{y-z}{y} \right )=\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\left ( 2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y} \right )\)

\(\leq \left ( \frac{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y}}{2} \right )^2=1\)

Do đó ta có đpcm.

1/a) ĐKXĐ:

\(\left\{{}\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\\4x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\\x\ge\dfrac{-1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4\le0\\x^2-4\ge0\\x\ge\dfrac{-1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)

Thế vào pt ta được:

\(3+\sqrt{y^2-2y+1}=5-y\Leftrightarrow\left|y-1\right|=2-y\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}\)

Vậy pt có cặp nghiệm duy nhất \(x=2;y=\dfrac{3}{2}\)

2/ Muốn giải chi tiết thì buộc phải sử dụng kiến thức lớp 11 (các công thức lượng giác nhân đôi, nhân ba), còn lớp 9 thì chỉ có cách thừa nhận các giá trị lượng giác của góc 108 hoặc 54 độ là 1 số vô tỉ.

Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow BH=\dfrac{BC}{2}\)

\(\widehat{CAH}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=54^0\) (ABC cân tại A) \(\Rightarrow sin\widehat{CAH}=sin54^0=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{BC}{2AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=2.sin54^0\)

Mà \(sin54^0\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}\) là số vô tỉ

Câu 3: TXĐ: \(x\ge0\)

\(\left(\sqrt[3]{x^2+26}-3\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+3\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

Do \(\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}>0\) \(\forall x\ge0\)

Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

Bài 1:

ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$

$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:

$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:

$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$