a) \(A=\left(4n+3\right)^2-5^2=\left(4n+3-5\right)\left(4n+3+5\right)=\left(4n-2\right)\left(4n+8\right)\)

\(=8\left(n-1\right)\left(n+2\right)\). Vì A chứa thừa số 8 nên A chia hết cho 8  

b) \(B=\left(2n+3\right)^2-3^2=\left(2n+3-3\right)\left(2n+3+3\right)=2n\left(2n+6\right)=4n\left(n+3\right)\)

Vì B chứa thừa số 4 nên B chia hết cho 4

Bài 2:

\(\left(2n+3\right)^2-9\)

\(\rightarrow4n^2+12n+9-9\)

\(\rightarrow4n^2=12n\)

\(\rightarrow4n.\left(n+3\right)\)

\(\rightarrow4⋮4\)

\(\rightarrow4n⋮4\)

\(\rightarrow4n.\left(n+3\right)⋮4\)

\(\rightarrow\left(2n+3\right)^2-9⋮4\)

Ta có bđt:\(a^2-b^2=\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)\)

Áp dụng ta có: Đề bài sẽ bằng:0 \(\left(4n+3-5\right)\cdot\left(4n+3+5\right)\)\(=\left(4n-2\right)\left(4n+8\right)⋮8\)vì\(4n-2⋮2,4n+8⋮4\)

(4n+3)^2-25

=(4n+3)^2-5^2

=(4n+3+5)(4n+3-5)

=(4n+8)(4n-8)

=[4(n+2)][2(n-4)]

=8(2+n)(n-4)luôn chia hết cho 8 

Vậy...

xin lỗi mình làm muộn

Link :Câu hỏi của Lê Thị Yến Ninh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(\left(4n+3\right)^2-25=16n^2+24n+9-25=16n^2+24n-16=8\left(2n^2+3n-2\right);n\in Z\Rightarrow2n^2+3n-2\in Z\Rightarrow E⋮8\left(đpcm\right)\)

Biểu thức đó bằng 5m - 5n nên chia hết cho 5 với mọi m,n nguyên

Bài 3 

Với abc=1

Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)

\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)

       \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)

Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)

Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)

Khi đó

\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)

\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)

2. Ta có: P = 2x² + y² - 4x - 4y + 10

P = 2(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 4

P = 2(x - 1)² + (y - 2)² + 4 \(\ge\)4 \(\forall\)x;y

=> P luôn dương với mọi biến x;y

3 Ta có:

(2n + 1)(n² - 3n - 1) - 2n³ + 1

= 2n³ - 6n² - 2n + n² - 3n - 1 - 2n³ + 1

= -5n² - 5n = -5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)n \(\in\)Z

1×2=2

(4n + 3)² - 25

= (4n + 3 - 5)(4n + 3 + 5)

= (4n - 2)(4n + 8)

= 8(2n - 1)(n + 2)

Vì 8 \(⋮\) 8 nên 8(2n - 1)(n + 2) \(⋮\) 8 (đpcm)

Vậy 8(2n - 1)(n + 2) \(⋮\) 8

Chúc bn học tốt