\(a+b+c+d+e\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-kb\right)^2+\left(a-kc\right)^2+\left(a-kd\right)^2+\left(a-ke\right)^2\ge0\)

Ta chọn \(k=2\)hay nhân 2 vế với 4

*Xét hiệu 2 vế bất đẳng thức.

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)-4\left(ab+ac+ad+ae\right)}{4}\)

\(=\frac{\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)}{4}\)

\(=\frac{\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi\(a=2b=2c=2d=2e\)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Vậy ...

Có nhiều cách biểu diễn:

VD

\(VT-VP=\frac{\left(a-b-c\right)^2+\left(a-d-e\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(d-e\right)^2}{2}\) (còn rất nhiều ...)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)

<=>(a²-4ab+4b²)+(a²-4ac+4c²)+(a²-4ad+4d²)+(a²-4ae+e²)\(\ge\)0

<=>(a-2b)²+(a-2c)²+(a-2d)²+(a-2e)²\(\ge\)0 (luôn đúng)

=>dpcm

nhân 2 vế cho 4 chuyển qua lại rồi dùng HĐT bạn ạ

Nếu nhân 2 vế cho 4 ra thế nào?

làm xong ấn hủy :(( chán 

\(bđt\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2-2ab-2ac-2ad-2ae\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a\left(d+e\right)+\left(d+e\right)^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2+d^2-2de+e^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-d-e\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-b-c\right)^2+\left(d-e\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng minh 

cách khác câu a)

ta xét P=a²-a(b+c+d+e)+b²+c²+d²+e² là một tam thức bậc 2 theo biến a ta có \(\Delta=\left(b+d+c+e\right)^2-4\left(b^2+d^2+c^2+e^2\right)\)

theo bđt cauchy-schwarz ta có \(\left(1+1+1+1\right)\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge\left(b+d+c+e\right)^2\)

do đó \(\Delta\le0\), theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được

a²-a(b+c+d+e) +b²+c²+d²+e²>=0

bài toán được chứng minh

\(P=\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)

Đặt \(t=\sqrt{x-1}\)lúc đó \(A=\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{t}{t^2+1}\Leftrightarrow At^2-t+A=0\)

\(\Delta=1^2-4A^2\ge0\Rightarrow A\le\frac{1}{2}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{\sqrt{3}}{6}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=2;y=\sqrt{2};z=\sqrt{3}\), \(P_{min}=\frac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\)

Xét hiệu:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\)

\(=\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)

\(=\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\)

Do \(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2\ge0\forall a,b;\left(\frac{a}{2}-c\right)^2\ge0\forall a,c\);\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2\ge0\forall a,d;\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\forall a,e\)Do đó:

\(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Dấu"="xảy ra khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)

ô kê :))

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a( b + c + d + e )

<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae

Nhân 4 vào từng vế ta được

<=> 4( a² + b² + c² + d² + e² ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0

<=> ( a² - 4ab + 4b² ) + ( a² - 4ac + 4c² ) + ( a² - 4ad + 4d² ) + ( a² - 4ae + 4e² ) ≥ 0

<=> ( a - 2b )² + ( a - 2c )² + ( a - 2d )² + ( a - 2e )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra <=> b = c = d = e = a/2

Bạn à tôi chịu

thì nó khó thiệt mà

Sửa: CMR: \(\left(\dfrac{2019b+2020c-2021d}{2019c+2020d-2021e}\right)^3=\dfrac{a^2}{bc}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{e}=\dfrac{2019b+2020c-2021d}{2019c+2020d-2021e}\\ \Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\left(\dfrac{2019b+2020c-2021d}{2019c+2020d-2021e}\right)^3\left(1\right)\\ \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=k\Rightarrow a=bk;b=ck\Rightarrow a=ck^2\\ \Rightarrow\dfrac{a^2}{bc}=\dfrac{c^2k^4}{ck\cdot c}=k^3=\left(\dfrac{a}{b}\right)^3\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)

ae vứt 1 ab ra nha

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\)

<=> 4(a² + b² ) \(\ge\) 2 ( a² + 2ab + b² )

<=> 4a² + 4b² \(\ge\) 2a² + 4ab +2b²

<=> 4a² + 4b² - 2a² - 4ab - 2b² \(\ge\) 0

<=> 2a² - 4ab + 2b² \(\ge\) 0

<=> a² -2ab +b² \(\ge\) 0

<=> (a-b)² \(\ge\) 0 ( luôn đúng)

=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

Và dấu bằng xảy ra <=> a = b

e) Làm tương tự nhé! Có gì ko hiểu thì hỏi lại mk! Ok??