Lời giải:
Đặt $x+7=t$ thì:

$P=(x+8)^4+(x+6)^4=(t+1)^4+(t-1)^4=2t^4+12t^2+2\geq 2, \forall t\in\mathbb{R}$

Do đó $P_{\min}=2$.

Giá trị này đạt tại $t=0\Leftrightarrow x+7=0$

$\Leftrightarrow x=-7$

1) \(A=x^2-4x+1\)

\(A=x^2-4x+4-3\)

\(A=\left(x^2-4x+4\right)-3\)

\(A=\left(x-2\right)^2-3\)

Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2-3\ge-3\) với mọi x

Vậy MIinA = -3 khi x = 2

2) \(B=-x^2+13x+2012\)

\(B=-x^2+13x-\frac{169}{4}+\frac{169}{4}+2012\)

\(B=-\left(x^2-13+\frac{169}{4}\right)+\left(\frac{169}{4}+2012\right)\)

\(B=-\left(x-\frac{13}{2}\right)^2+\frac{8217}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\frac{13}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(-\left(x-\frac{13}{2}\right)^2\le0\) với mọi x

\(\Rightarrow-\left(x-\frac{13}{2}\right)^2+\frac{8217}{4}\le\frac{8217}{4}\)

Vây \(Max\left(B\right)=\frac{8217}{4}\) khi \(x=\frac{13}{2}\)

\(a,P=\dfrac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19-2x-6\sqrt{x}+x-4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\left(x\ge0;x\ne1\right)\\ P=\dfrac{x\sqrt{x}-x+16\sqrt{x}-16}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\left(x+16\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ P=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}\\ b,P=4\Leftrightarrow\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=4\\ \Leftrightarrow x+16=4\sqrt{x}+12\\ \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

\(c,P=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ P=\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right)\cdot\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}}-6=2\cdot5-6=4\\ P_{min}=4\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)^2=25\Leftrightarrow\sqrt{x}+3=5\left(\sqrt{x}+3>0\right)\\ \Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

\(d,x=3-2\sqrt{2}\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{2}-1\\ \Leftrightarrow P=\dfrac{3-2\sqrt{2}+16}{\sqrt{2}-1+3}=\dfrac{19-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}\\ P=\dfrac{\left(19-2\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}=\dfrac{42-23\sqrt{2}}{2}\)

Lời giải:
Ta có:

$P=2x^2+y^2+2xy+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x^2+y^2+2xy)+x^2+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+(x^2+4x)+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+\frac{1}{4}+(x^2+4x+4)+5$

$=(x+y+\frac{1}{2})^2+(x+2)^2+5\geq 5$

Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại:

$x+y+\frac{1}{2}=x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2; y=\frac{3}{2}$

Lời giải:
Ta có:

$P=2x^2+y^2+2xy+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x^2+y^2+2xy)+x^2+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+(x^2+4x)+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+\frac{1}{4}+(x^2+4x+4)+5$

$=(x+y+\frac{1}{2})^2+(x+2)^2+5\geq 5$

Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại:

$x+y+\frac{1}{2}=x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2; y=\frac{3}{2}$

TK:

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x + y + 2xy = \(\dfrac{15}{2}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y - Hoc24

+) \(A=\left(x-3\right)^2+2\)

Vì \(\left(x-3\right)^2\)≥0 ∀x

⇒\(A\)≥2 ∀x

Min A=2⇔\(x=3\)

+) \(B=11-x^2\)

Câu này chỉ tìm được max thôi nha

\(A=\left(x-3\right)^2+2\)

Vì \(\left(x-3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

Vậy GTNN của A là 2 khi x = 3

\(M=\left|x-2012\right|+\left|x-2013\right|=\left|x-2012\right|+\left|2013-x\right|\)

                                                               \(\ge\left|x-2012+2013-x\right|=1\)

Áp dụng công thức: \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(x-2012\right).\left(2013-x\right)\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}x-2012\ge0\\2013-x\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2012\\x\le2013\end{cases}\Rightarrow}2012\le x\le2013}\)

Vậy M_min = 1 khi và chỉ khi x={2012;2013}

là 1 nha