Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(2x^2+y^2+2xy+5x+y+\dfrac{37}{4}\)
Cần gấp ạ

Answer 1

Lời giải:
Ta có:

$P=2x^2+y^2+2xy+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x^2+y^2+2xy)+x^2+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+(x^2+4x)+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+\frac{1}{4}+(x^2+4x+4)+5$

$=(x+y+\frac{1}{2})^2+(x+2)^2+5\geq 5$

Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại:

$x+y+\frac{1}{2}=x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2; y=\frac{3}{2}$

Answer 2

Lời giải:
Ta có:

$P=2x^2+y^2+2xy+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x^2+y^2+2xy)+x^2+5x+y+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+(x^2+4x)+\frac{37}{4}$

$=(x+y)^2+(x+y)+\frac{1}{4}+(x^2+4x+4)+5$

$=(x+y+\frac{1}{2})^2+(x+2)^2+5\geq 5$

Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại:

$x+y+\frac{1}{2}=x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2; y=\frac{3}{2}$