Ô...mai..gót

Thế này ko ai giải cho bn đâu vì họ ko dại gì làm tất cả chỉ để lấy cái T.I.C.K

Hãy đăng từng câu một 

Ai đồng quan điểm

Bạn lấy mấy bài này từ mấy cái đề học sinh giỏi vậy ?

Nhưng ai biết câu nào thì làm câu đấy mình đâu bắt các bạn làm hết đâu

a) Gọi ƯCLN(12n+1;30n+2) = d

\(\Rightarrow\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}\)

=> ( 60n + 5 ) - ( 60n + 4 ) \(⋮\) d

=> 1 \(⋮\) d

=> d = 1

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

b) Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

                \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

                 .........

                  \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\) 

Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\) ( đpcm )

Đề bài : Cho \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{10^2}\).

Chứng minh : \(\frac{8}{33}< A< \frac{2}{5}\).

Giải : Ta có : \(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+...+\frac{1}{10\cdot11}< A< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)

                                                                             \(\frac{1}{3}-\frac{1}{11}< A< \frac{1}{2}-\frac{1}{10}\)

                                                              \(\frac{1}{11}-\frac{3}{33}=\frac{8}{22}< A< \frac{5}{10}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)

                                                                                         \(\frac{8}{33}< A< \frac{2}{5}\)

Ta có: \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{10^2}< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{9\cdot10}\) 

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2}{5}\)(1)

Lại có: \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{10^2}>\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+...+\frac{1}{10\cdot11}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)

\(\Rightarrow A>\frac{8}{33}\)(2)

Từ (1)(2) suy ra \(\frac{8}{33}< A< \frac{2}{5}\)

Vậy...

:

Ta có \(\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}< \frac{4}{4k^2-1}=2\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\left(k\in N\cdot\right)\)

Khi đó \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\ =2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}\right)< \frac{2}{3}\)

Đề sao rồi bạn ơi, phải là \(\le\) mới đúng. Bài này ta làm như sau:

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

CMTT, ta được:

\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)

\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ca+a+1\right)\)

Do đó ta có:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\left(1\right)\)

Chú ý rằng \(abc=1\) nên ta dễ dàng CM được:

\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có đpcm.

Nếu không cho abc=1; a,b,c >0 và BĐT >=1 thì mình xong lâu rồi. Khó phết 

Ta thấy: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+......+\frac{1}{50^2}\)<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+......+\frac{1}{49.50}\)

               \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{50^2}\)<\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

               \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{50^2}\)<\(1-\frac{1}{50}\)

Suy ra:

A=\(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{50^2}\)<\(\frac{1}{1^2}+\left(1-\frac{1}{50}\right)\)

                               A<1+1-\(\frac{1}{50}\)

                               A<2-\(\frac{1}{50}\)<2

             Vậy A<2(đpcm)

em viết sai 

chứng minh A < 2

viết phân số thế nào đấy nói đi chỉ cách làm cho

sửa đề : \(\frac{9}{10!}+\frac{10}{11!}+\frac{11}{12!}+...+\frac{99}{100!}\)

\(=\frac{10-1}{10!}+\frac{11-1}{11!}+\frac{12-1}{12!}+...+\frac{100-1}{100!}\)

\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}< \frac{1}{9!}\left(đpcm\right)\)

Ta có BĐT phụ với \(x;y;z\ge1\): \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt[6]{xyz^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

Áp dụng:

\(P=\frac{1}{1+a^6}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{2}{1+c^2}\ge\frac{2}{1+a^3c}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{2}{1+c^2}\)

\(P\ge2\left(\frac{1}{1+a^3c}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^2}\right)\ge\frac{6}{1+\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}=\frac{6}{1+abc}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)