a) Vì (d) song song với đường thẳng \(y=-2x+2003\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b\ne2003\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(d\right):y=-2x+b\)

Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ = 1

\(\Rightarrow\) tọa độ điểm đó là \(\left(1;0\right)\)

\(\Rightarrow1=b\Rightarrow\left(d\right):y=-2x+1\)

b) pt hoành độ giao điểm: \(-\dfrac{1}{2}x^2=-2x+2\Rightarrow\dfrac{1}{2}x^2-2x+2=0\)

\(\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}.2^2=-2\)

\(\Rightarrow\) tọa độ giao điểm là \(\left(2;-2\right)\)

đường thẳng y = ax+ b song song với đường thằng y = -x+ 5

=> a = -1 ; b khác 5

=> đường thẳng có dạng y = -x + b

gọi A là giao của đg thẳng y = -x + b và parabol
=> x_A = 1 => y_A = x_A² = 1 

A(1; 1) thuộc đg thẳng y = -x + b => y_A = - x_A + b =>b = 2 (thoả mãn)

\(\left(d\right):y=ax+b//y=-\dfrac{1}{2}x+3\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

(d) cắt trục hoành tai điểm có hoành độ 2

\(\Leftrightarrow y=0;x=2\Leftrightarrow2a+b=0\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy đths là \(y=-\dfrac{1}{2}x+1\)

Vì (d)//y=-1/2x+3 nên \(a=-\dfrac{1}{2}\)

Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

\(b+\dfrac{-1}{2}\cdot2=0\)

hay b=1

Vì (d1)//(d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne-4\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d1): y=3x+b

Thay x=-2 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-2\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot4=2\)

Thay x=-2 và y=2 vào (d1), ta được:

\(3\cdot\left(-2\right)+b=2\)

\(\Leftrightarrow b=8\)(thỏa ĐK)

Vậy: (d1): y=3x+8

để \(\left(d1\right)\) sogn song với \(\left(d\right)\)

\(< =>\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne-4\end{matrix}\right.\)

để (d1) cắt (P) tại A có hoành độ -2\(=>x=-2\)

\(=>\dfrac{1}{2}x^2=3x+b< =>\dfrac{1}{2}\left(-2\right)^2=3\left(-2\right)+b=>b=8\left(tm\right)\) 

=>\(\left(d1\right):y=3x+8\)

Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành bằng 1 : 

\(x=1.y=0\)

\(a+b=0\left(1\right)\)

Song song với đường thăng y = -2x + 2003 :

\(\Rightarrow a=-2\)

\(Từ\left(1\right):b=2\)

1.

\(A=\frac{4\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}-\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}-\sqrt{8}\)

\(A=\frac{4\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}-\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{-1}-2\sqrt{2}\)

\(A=2\left(\sqrt{3}+1\right)+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)

\(A=2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}\)

\(A=2\)

2. Đặt (D): y =  ax + b (a khác 0)

           (D1): y = -3x + 5

- Vì (D) // (D1): y = -3x+5 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b\ne5\end{cases}}\)

- Vì (D) cắt (P): y = 2x^2 tại điểm A có hoành độ là -1 \(\Rightarrow x=-1\)

Thay x = -1 vào: y = 2x^2 = 2.(-1)^2 = \(2\)

Thay \(a=-3;x=-1;y=2\)vào:

       \(ax+b=y\)

\(\Leftrightarrow-3.\left(-1\right)+b=2\)

\(\Leftrightarrow3+b=2\)

\(\Leftrightarrow b=-1\left(TMĐK\right)\)

Vậy: \(\left(D\right):y=-3x-1\)