Gọi UCLN(12a+1;30a+2)=d

Ta có:12a+1 chia hết cho d             =>5(12a+1) chia hết cho d          =>60a+5 chia hết cho d

        30a+2 chia hết cho d             =>2(30a+2) chia hết cho d           =>60a+4 chia hết cho d

=>(60a+5)-(60a+4) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy phân số \(\frac{12a+1}{30a+2}\) tối giản với mọi a là số nguyên

Để 12a+1/30a+2 là phân số tối giản khi ƯCLN(12a+1,30a+2)=1.(5)

Gọi d là ƯCLN(12a+1,30a+2).

Ta có : 12a+1 chia hết cho d =>5(12a+1) chia hết cho d => 60a+5 chia hết cho d.            (1)

           30a+2 chia hết cho d =>2(30a+2) chia hết cho d => 60a+4 chia hết cho d.            (2)

Từ (1) và (2) => (60a+5)-(60a+4) chia hết cho d

                   =>1 chia hết cho d

                   => d thuộc ước nguyên của 1

                   => 12a+1 và 30a+2 nguyên tố cùng nhau.               (4)

Từ (4) và (5) =>12a+1/30a+2 là phân số tối giản với mọi a thuộc Z.

mình mới có lớp 5 chuẩn bị lên lớp sau nên không bt đúng hay ko: 121+1/300+

Nhìn qua thấy cách giải của mấy bạn cũng đúng rồi, mình xin bổ sung chút xíu : 

Gọi ƯCLN(12a+1,30a+1) = d (\(d\ge1\))

\(\begin{cases}12a+1⋮d\\30a+2⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}5\left(12a+1\right)⋮d\\2\left(30a+2\right)⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}60a+5⋮d\\60a+4⋮d\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(60a+5\right)-\left(60a+4\right)⋮d\)\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\le1\) mà điều kiện \(d\ge1\)

=> d = 1. Vậy phân số trên tối giản.

Gọi ƯCLN(12a+1;30a+2) = d

Ta có: 12a+1 \(⋮\) d; 30a+2 \(⋮\)d

=> 5(12a+1) \(⋮\) d; 2(30a+2) \(⋮\) d

=> 60a+5 \(⋮\) d; 60a+4 \(⋮\)d

=> 60a+5-60a-4 \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\) d

=> 12a+1/30a+2 tối giản

Gọi ƯCLN(12a+1 ; 30a+2 ) = d

\(\Rightarrow\begin{cases}12a+1⋮d\\30a+2⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}5\left(12a+1\right)⋮d\\2\left(30a+2\right)⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}60a+5⋮d\\60a+4⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) ( 60a + 5 ) - ( 60a + 4 ) \(⋮\) d

=> 1 \(⋮\) d

=> d \(\in\) Ư(1) = { -1 ; 1 }

=> Phân số  \(\frac{12a+1}{30a+2}\) là phân số tối giản

1) Trướt hết mình xin ký hiệu lại: 
a/b tối giản <=> (a;b)=1 tức là ước chung lớn nhất của a, b là 1 
2) Ta sẽ chứng minh: 
Nếu (a;b)=1 thì (b;a-b)=1 (*) 
Bằng phản chứng: giả sử rằng (b;a-b)=k (k>1) khi đó ta có thể viết 
b = k.u (u nguyên) (**) 
a-b = k.v (v nguyên) (***) 
Từ (**)(***) suy ra a = k(u+v) và do đó (a;b) = (k(u+v); ku) = k >1 là trái giả thiết. 
Vậy (*) đã được chứng minh. 
3) a/b tối giản => a/b -1 = (a-b)/b tối giản (theo (*)) 
bằng quy nạp sẽ chứng minh được a/b - n tối giản. (đpcm)

Lời giải:

Vì $\frac{a}{b}$ là phân số chưa tối giản nên $a,b$ còn có thể chia hết cho chung một số lớn hơn $1$.

Gọi số đó là $d$.

Ta có: $a\vdots d; b\vdots d\Rightarrow 2a\vdots a; a-2b\vdots d$

$\Rightarrow \frac{2a}{a-2b}$ là phân số không tối giản. 

\(\frac{a-2b}{b}=\frac{a-b+b}{b}=\frac{a}{b}\)là phân số tối giản.

Thế thôi ! Bạn chỉ cần tách tử số là ra luôn !^^