Nếu là lớp 9 thì có thể dùng delta. Nhưng nếu lớp 7 thì theo cách này:

Giải:

Với \(x=2\) thay vào \(A\left(x\right)\) thì ta có:

\(A\left(2\right)=2^2-5m.2+10m-4\)

\(=4-10m+10m-4=0\)

\(\Rightarrow2\) là 1 nghiệm của đa thức \(A\left(x\right)\)

Vậy đa thức \(A\left(x\right)\) có hai nghiệm mà nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

\(\Leftrightarrow\) Nghiệm còn lại của đa thức \(A\left(x\right)\) là \(1\) hoặc là \(4\)

\(*)\) \(x=1\) là nghiệm của đa thức \(A\left(x\right)\Leftrightarrow A\left(1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow5m-3=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{5}\)

\(*)\) \(x=4\) là nghiệm của đa thức \(A\left(x\right)\Leftrightarrow A\left(4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow12-10m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{5}\)

Vậy \(m=\dfrac{3}{5}\) hoặc \(m=\dfrac{6}{5}\) là các giá trị cần tìm

\(\text{Δ}=\left(-5m\right)^2-4\left(10m-4\right)\)

\(=25m^2-40m+16=\left(5m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

Áp dụng Vi-et,ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=10m-4\end{matrix}\right.\)(1)

Theo đề, ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=5m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=5m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{5}{3}m\\x_1=\dfrac{10}{3}m\end{matrix}\right.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(10m-4=\dfrac{5}{3}m\cdot\dfrac{10}{3}m\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{50}{9}-10m+4=0\)

\(\Leftrightarrow50m^2-90m+40=0\)

=>5m²-9m+4=0

=>(m-1)(5m-4)=0

=>m=4/5 hoặc m=1

Ta thấy x=2 là nghiệm của đa thức A(x) với mọi giá trị của x vì :

A(2) = 2² - 5.2m +10m -4

=4-10m+10m-4=0

Nên đa thức A(x) có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi nghiệm còn lại của đa thức A(x) là 1 hoặc 4

*) x=1 là nghiệm của đa thức A(x) <=> A(1) =0

<=> 5m-3=0 => 5m=3 => m=3/5

*) x=4 là nghiệm của đa thức A(x) <=> A(4) =0

<=> 12-10m=0 => -10m=-12 => 10m=12 => m=6/5

Vậy m=3/5 và m=6/5 là các giá trị cần tìm

Chơi delta luôn:

Giải:

Ta có: \(A\left(x\right)=x^2-5mx+10m-4\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(5m-4\right)^2\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=5m-2\\x_2=2\end{matrix}\right.\)

Ta xét 2 trường hợp: \(\left[{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_2=2x_1\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 1: Nếu \(x_1=2x_2\)

\(\Leftrightarrow5m-2=4\Leftrightarrow5m=6\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{5}\)

Trường hợp 2: Nếu \(x_2=2x_1\)

\(\Leftrightarrow2\left(5m-2\right)=2\Leftrightarrow5m-2=1\)

\(\Leftrightarrow5m=3\Leftrightarrow m=3\div5=\dfrac{3}{5}\)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(m=\dfrac{3}{5}\) hoặc \(m=\dfrac{6}{5}\)

Bài 1: 

\(A\left(x\right)=0\)

nên \(x^2-5mx+10m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-5m\right)^2-4\cdot10m=25m^2-40m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì m(25m-40)>0

=>m>8/5 hoặc m<0

Áp dụng Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=10m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\3x_2=5m\\x_1x_2=10m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{5m}{3}\\x_1=\dfrac{10}{3}m\\\dfrac{50}{9}m^2-10m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{9}{5}\)(nhận)