Lời giải:

Vì $a$ chia $6$ dư $5$ nên đặt $a=6k+5$ với $k$ nguyên. 

Khi đó: $a^2=(6k+5)^2=36k^2+25+60k=6(6k^2+10k+4)+1$ chia $6$ dư $1$

$C=1+4+...+4^{6}$

$4C=4+4^{2}+...+4^{7}$

$4C-C=4+4^{2}+...+4^{7}-1-4-...-4^{6}$

$3C=4^{7}-1$

$C=\dfrac{4^{7}-1}{3}$

Để tính tổng S = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^6, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

S = (a * (r^n - 1)) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu tiên của dãy (a = 1)
- r là công bội của dãy (r = 4)
- n là số lượng số hạng trong dãy (n = 6)

Áp dụng vào bài toán, ta có:

S = (1 * (4^6 - 1)) / (4 - 1)
= (4^6 - 1) / 3

Để chứng minh A = {(4^7 - 1) : 3}, ta cần chứng minh rằng S = (4^7 - 1) : 3.

Ta có:
(4^7 - 1) : 3 = (4^7 - 1) / 3

Để chứng minh hai biểu thức trên bằng nhau, ta sẽ chứng minh rằng (4^7 - 1) / 3 = (4^6 - 1) / 3.

Ta có:
(4^7 - 1) / 3 = (4^6 * 4 - 1) / 3
= (4^6 * 4 - 1 * 4^0) / 3
= (4^6 * 4 - 4^6) / 3
= 4^6 * (4 - 1) / 3
= (4^6 - 1) / 3

Vậy ta đã chứng minh được A = {(4^7 - 1) : 3}.

a) (n+3)\(^2\)- (n+1)\(^2\) = (n+3-n-1).(n+3+n+1) = 2(2n+4) = 4(n+2) 

Sẽ ko chia hết cho 8 nếu n là số lẻ!

b) (n+6)\(^2\)- (n-6)\(^2\) = (n+6-n+6).(n+6+n-6) = 12.2n = 24n chia hết cho 6 với mọi n

Xin 1 like nha bạn. Thx bạn, chúc bạn học tốt 

Bài 1:

\(a,A=2x^2+2x+1=\left(x^2+2x+1\right)+x^2=\left(x+1\right)^2+x^2\\ Mà:\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2+x^2>0\forall x\in R\\ Vậy:A>0\forall x\in R\)

2:

a: =-(x^2-3x+1)

=-(x^2-3x+9/4-5/4)

=-(x-3/2)^2+5/4 chưa chắc <0 đâu bạn

b: =-2(x^2+3/2x+3/2)

=-2(x^2+2*x*3/4+9/16+15/16)

=-2(x+3/4)^2-15/8<0 với mọi x

Bài 1:

\(B=4+x^2+x=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{15}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{15}{4}\forall x\in R\\ Vậy:B>0\forall x\in R\)

Đề sai nghe

kết hợp theo công thức thì số kết thúc phải là 2¹⁹ hoặc là 2²¹  mới kết hợp được
Đừng có đánh giá người khác như thế chứ ;-;

\(B=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2006}\)

\(\Rightarrow3B=3\left(1+3+3^2+...+3^{2006}\right)\)

\(\Rightarrow3B=3+3^2+3^3+...+3^{2007}\)

B=1+3+...+3²⁰⁰⁶

=>3B=3+3²+...+3²⁰⁰⁷

A=(3^2007-1):2=3²⁰⁰⁷:2-3:2

Để chứng minh rằng A={3^2007-1}:2, ta cần chứng minh hai phần:

1. Chia hết cho 2:
Ta có 3^2007-1 là số lẻ vì 3^2007 là số lẻ và 1 là số chẵn. Vì vậy, A chia hết cho 2.

2. Không chia hết cho 4:
Ta sẽ chứng minh rằng 3^2007-1 không chia hết cho 4.
Ta biết rằng 3^2 ≡ 1 (mod 4) (vì 3^2 = 9 ≡ 1 (mod 4))
Do đó, ta có thể viết lại 3^2007-1 = (3^2)^1003-1 = (3^2-1)(3^2)^1002+1 = 8k+1 với k là số nguyên.
Vì vậy, A không chia hết cho 4.

Từ hai phần trên, ta có thể kết luận rằng A={3^2007-1}:2.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{2}{3}a^2-\dfrac{4}{3}ab+\dfrac{2}{3}b^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b).

a) Ta có A = 1 + 2¹ + 2² + ... + 2²⁰²¹

           2A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²²

Vậy 2A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²²

b) 2A - A = ( 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²² ) - ( 1 + 2¹ + 2² + ... + 2²⁰²¹ )

           A = 2²⁰²² - 1

Vậy A = 2²⁰²² - 1

a)

\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2020}+2^{2021}\)

\(2A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2021}+2^{2022}\)

b)

\(2A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2022}\)

\(2A-A=\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{2022}\right)-\left(1+2^1+2^2+....+2^{2021}\right)\)

\(A=2^{2022}-1\)

=> đpcm

a/

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2022}\)

b/

\(A=2A-A=2^{2022}-1\)

\(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+1}\)|

\(=3^n\cdot3^3+3^n\cdot3+2^n\cdot2^2+2^n\cdot2\)

\(=3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^2+2\right)\)

\(=3^n\cdot30+2^n\cdot6\)

Vì 30 chia hết cho 6 nên 3ⁿ . 30 cũng chia hết cho 6.

Vì 6 chia hết cho 6 nên 2ⁿ .6 cũng chia hết cho 6.

Vậy .....

=))

Ta có: 

\(A=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+1}\)

   \(=3^{n+1}\cdot3^2+3^{n+1}+2^{n+1}\cdot2^1+2^{n+1}\)

   \(=3^{n+1}\cdot\left(3^2+1\right)+2^{n+1}\cdot\left(2^1+1\right)\)

   \(=3^{n+1}\cdot10+2^{n+1}\cdot3\)

   \(=3^n\cdot3\cdot2\cdot5+2^n\cdot2\cdot3\)

   \(=3^n\cdot6\cdot5+2^n\cdot6\)

   \(=6\cdot\left(3^n\cdot5\cdot2^n\right)\Rightarrow⋮6\left(đpcm\right)\)

   3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹

=3ⁿ.3³+3ⁿ.3+2ⁿ.2²+2ⁿ.2

=3ⁿ.(3³+3)+2ⁿ.(2²+2)

=3ⁿ.30+2ⁿ. 6

3ⁿ.30 luôn chia hết cho 6 và 2ⁿ.6 luôn chia hết cho 6

=> 3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹ chia hết cho 6