\(A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}\)\(=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9}{2}.\frac{a^2+1}{2a}\)

\(\ge2.\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{9}{2}.1=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\)

Ta có: \(a^2+a+1=a^2+a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

\(a^2-a+1=a^2-a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\forall a\in R\)

1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số

Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)

(Biến đổi tương đương)

Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:

\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)

"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)

P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)

Câu 3: Tham khảo đây nhá: Câu hỏi của Trương Thanh Nhân, t làm r,giờ lười đánh lại.

tth, bài 3 làm thế chắc chết  cauchy là ra thôi 

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có.

\(A=\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2=x^2-4x+3+2=\left(x^2-4x+4\right)+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\forall x\)