a. \(\overrightarrow{BC}=\left(3;-3\right)=3\left(1;-1\right)\)

Phương trình AH đi qua A và vuông góc BC nên nhận \(\left(1;-1\right)\) là vtpt có dạng:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

b. Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(7;-1\right)\)

Phương trình AM qua A và nhận \(\left(7;-1\right)\) là vtcp có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+7t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)

c. Đường trung bình song song BC đi qua M và nhận (1;-1) là 1 vtcp có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}+t\\y=\dfrac{7}{2}-t\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=X\\\frac{1}{2x-y+3}=Y\end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}2X-Y=5\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4X-2Y=10\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5X=15\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}X=3\\Y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=3\\\frac{1}{2x-y+3}=1\end{matrix}\right.\) (nhân chéo) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y-1=\frac{1}{3}\\2x-y+3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\2x-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\6x-3y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\7x=-\frac{14}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)\)

a: Xét tứ giác BFED có 

ED//BF

FE//BD

Do đó: BFED là hình bình hành

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AC

EF//CB

Do đó: F là trung điểm của AB

Xét ΔCDE và ΔEFA có 

CD=EF

DE=FA

CE=EA

Do đó: ΔCDE=ΔEFA

b: Gọi ΔABC có F là trung điểm của AB,E là trung điểm của AC

Trên tia FE lấy điểm E sao cho E là trung điểm của FK

Xét tứ giác AFCK có 

E là trung điểm của AC

E là trung điểm của FK

Do đó: AFCK là hình bình hành

Suy ra: AF//KC và KC=AF

hay KC//FB và KC=FB

Xét tứ giác BFKC có 

KC//FB

KC=FB

Do đó: BFKC là hình bình hành

Suy ra: FE//BC(ĐPCM)

Bài 1: 

a:  Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

MN//BC

Do đó: N là trung điểm của AC

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay AC=12(cm)

b: Xét ΔABC có 

MN//AC

nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{AB}\)

hay MN=6(cm)

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

MN//BC

Do đó: N là trung điểm của AC

b: Xét ΔACB có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay AC=12(cm)

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

MN//AC

Do đó: N là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Mình không biết vẽ hình trên đây bạn tự vẽ hình nhé

Xét tam giác BAC có:        BM=CM(M là trung điểm của BC)

                                           ME//AC(Mx//AC)

=>AE=BE(hay E là trung điểm của AB)

Xét tam giác CBA có:        BM=CM(M là trung điểm của BC)

                                          MF//AB(My//AB)

=>AF=CF(hay F là trung điểm của AC)

Xét tam giác ABC có:        AE=BE

                                          AF=CF

=>EF là đường trung bình của tam giác ABC

b, Xét tứ giác AEMF có:    ME//AF(Mx//AC)

                                          MF//AE(My//AB)

=>AEMF là hình bình hành

Ta có: AE=BE; AF=CF

mà AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

=>AE=BE=AF=CF

Xét hình bình hành AEMF có:AF=AE

=>AEMF là hình thoi

=> AM vuông góc với EF và AM đi qua trung điểm của EF

=>AM là đường trung trực của EF