3)a) Áp dụng BĐT Bunyakovsky 2 lần, ta có:

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y\right)^2\ge\left(1+xy\right)^2\)

Nhân vế theo vế rồi khai phương ta được đpcm.

b) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab}+\dfrac{4\sqrt{ab}}{a+b}+\dfrac{4\sqrt{ab}}{a+b}-\dfrac{7\sqrt{ab}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab}.\dfrac{4\sqrt{ab}}{a+b}.\dfrac{4\sqrt{ab}}{a+b}}-\dfrac{7}{2}=3.2-\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}\)

Lưu ý: \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2};\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\)

1.2) \(a^3-3a^2+8a=9\Leftrightarrow\left(a-1\right)^3+5a-8=0\)

\(b^3-6b^2+17b=15\Leftrightarrow\left(b-2\right)^3+5b-7=0\)

Cộng vế theo vế, áp dụng HĐT cho 2 cái mũ 3 rồi suy ra được a+b=3

1.1 Phương trình tương đương \(x^2-2x+1=2-x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}\)

Chia cả 2 vế cho x, chuyển vế, rút gọn, ta được

\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=t\ge0\) thì ta có:

\(t^2+t-2=0\Rightarrow\)Chọn t=1 vì \(t\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1\) giải ra kết luận được 2 nghiệm \(x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Bài 2: Bó tay nha con ngoan^^

Mấy CTV đừng xóa, để người cần đọc đã ;V

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\Rightarrow2\left(x+y\right)=3xy\)

\(x^2+y^2=5\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=5\)

Đặt x+y=u; xy=v, ta có hệ

\(\int^{2\left(x+y\right)-3xy=0}_{\left(x+y\right)^2-2xy=5}\Leftrightarrow\int^{2u-3v=0}_{u^2-2v=5}\Leftrightarrow u=3;v=2\)hoặc \(u=-\frac{5}{3};v=-\frac{10}{9}\)

đến đây dùng viet, x và y là nghiệm của 2 phương trình \(X^2-3X+2=0\) hoặc \(X^2+\frac{5}{3}X-\frac{10}{9}=0\). Giải ra được nghiệm (x;y) là   \(\left(1;2\right),\left(2;1\right),\left(\frac{-5+\sqrt{65}}{6};\frac{-5-\sqrt{65}}{6}\right),\left(\frac{-5-\sqrt{65}}{6};\frac{-5+\sqrt{65}}{6}\right)\)

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:

\(\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}\)

Bài giải: Điều kiện \(x\geqslant 5\)

Chuyển vế và bình phương hai vế phương trình ta có

\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-x-20 \right )\left ( x+1 \right )}\)

\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-4x-5 \right )\left ( x+4 \right )}\)

Ta cần tìm các hằng số \(a,b\) sao cho

\(a\left ( x^{2}-4x-5 \right )+b\left ( x+4 \right )=2x^{2}-5x+2\)

Đồng nhất hai vế đẳng thức trên ta có hệ phương trình

\(\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ -4a+b=-5 & & \\ -5a+4b=2 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(u=\sqrt{x^{2}-4x-5}; v=\sqrt{x+4}\), ta có phương trình

\(2a^{2}+3b^{2}=5ab\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( 2a-3b \right )=0\)

TH1: \(a=b\) thì \(x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)

TH2: \(2a=3b\) thì \(x=8\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)

giải các phương trình sau : a) \(\sqrt{x^2+2x}\) = -2x² - 4x + 3   ;   b) \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\) = x² + 3x - 4 .  Hướng dẫn : a) Đặt y = \(\sqrt{x^2+2x}\)  , y>=0 , ta được phương trình y = -2y² +3  b) Vì (x+1)(x+2) = x² +3x + 2 nên đặt y = \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)   , y>=0 , ta được phương trình y = y² - 6

câu 1 giải các phương trình sau.

a) 4x+8=3x-15

b) \(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x\left(x-2\right)}\)

câu 2 giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

a) 2x-8\(\ge\)0.

b)10+10x>0

câu 3 giải bài toán bằng các lập phương trình

Một học sinh đi từ nhà đến trường với vận tốc 15km/h,rồi từ trường về nhà với vận tốc 20km/h.Biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 15 phút. Tĩnh quãng đường từ nhà đến trường của người đó.

câu 4 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm,BC=6cm.Kẻ đường cao AH của tam giác ADB(AH\(\perp\)DB,H\(\in\)DB).

a) Chúng minh \(\Delta\)HAD đồng dạng \(\Delta\)ABD.

b) Chứng minh:AD\(^2\)=DH.DB.

c)Tính độ dài các đoạn thẳng AH,DH.

d) Tính tỉ số diện tích \(\Delta\)HAD và \(\Delta\)ABD từ đó suy ra tỉ số đồng dạng của nó.

         giúp mình với mai mình thi rồi SOS !!!!!!!

giải các phương trình sau : a) \(\sqrt{x^2+2x}\) = -2x² - 4x + 3   ;   b) \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\) = x² + 3x - 4 .  Hướng dẫn : a) Đặt y = \(\sqrt{x^2+2x}\)  , y>=0 , ta được phương trình y = -2y² +3  b) Vì (x+1)(x+2) = x² +3x + 2 nên đặt y = \(\sqrt{x^2+3x+2}\) , y >= 0 , ta được phương trình y = y² - 6 

tự đăng tự trả lời 

\(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1.\)

đặt  \(\frac{1}{2}+x=t\Leftrightarrow x=t-\frac{1}{2}\) " phương pháp thiên chúa "

thay vào và rút gọn dc pt như sau  :  \(\sqrt[3]{t}+\sqrt{1-t}=1\)

lập phương 2 vế : \(t=\left(1-\sqrt{1-t}\right)^3\)

phá lập phương : \(t=1-3\sqrt{1-t}+3\left(1-t\right)-\sqrt{1-t}^3\)

     rút gọn            \(t=-3t+\sqrt{1-t}\left(t-4\right)+4\)

        siêu rút gọn      \(4\left(t-1\right)=\sqrt{1-t}\left(t-4\right)\)

ấn máy tính ra 3 nghiệm  t=-8 " loại ,  t=0 nhận , t=1 nhận " 

nếu ko thíc ấn máy tính thì bình phương 2 vế ra pt bậc 3 nghiệm đẹp làm vẫn ok hơi dài thôi :v

\(\hept{\begin{cases}x=t-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\\x=t-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Cho phương trình \(\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-2x^2+mx+m-2=0.\)  Tính các giá trị của m để phương trình có nghiệm là 1 số không âm. Ai đó giúp mình với, cô có giải nhưng mình không hiểu, các bạn có thể giải ra rõ ràng và dễ hiểu hơn mấy bước tắt hộ mình được không? 

- Cô mình giải: \(\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-2x^2+mx+m-2=0\)

              \(\Leftrightarrow2x^2-2x+mx-m-2x^2+mx+m-2=0.\)

              \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=1\Rightarrow x=\frac{1}{m-1}\)

Vậy để phương trình có nghiệm là 1 số không âm thì \(m-1>0\Leftrightarrow m>1\)