Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)

+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)

+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)

+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)

+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)

+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)

Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)

\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)

\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )

Vậy \(a,b,c,d⋮5\)

Đề là chia hết cho 5 nha

Do \(f\left(x\right)⋮5\) với \(\forall x\in Z\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)⋮5;\forall x\in Z\)

\(\Rightarrow a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d⋮5\)

\(\Rightarrow d⋮5\)

\(\Rightarrow ax^3+bx^2+cx⋮5\)

\(f\left(1\right)=a+b+c⋮3;f\left(-1\right)=-a+b-c⋮5\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2b⋮3\Rightarrow b⋮5\)

\(\Rightarrow a+c⋮5\)

\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d=6a+2\left(a+c\right)+4b+d⋮5\)

\(\Rightarrow6a⋮5\)

\(\Rightarrow a⋮5\Rightarrow c⋮5\)

\(\Rightarrow a;b;c;d⋮5\)

Có \(A\left(x\right)⋮5\) \(\forall x.\)

=> \(A\left(0\right)=d⋮5\)

\(A\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\)

\(A\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\)

\(A\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)

\(A\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

=> \(a+b+c⋮5\) và \(-a+b-c⋮5.\)

=> \(a+b+c+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

=> \(2b⋮5.\)

Mà 2 là số nguyên tố và b nguyên

=> \(b⋮5\left(đpcm\right)\)

=> \(a+c⋮5;-a-c⋮5;8a+2c⋮5;-8a-2c⋮5\)

=> \(2.\left(a+c\right)⋮5\)

=> \(2a+2c⋮5\)

=> \(2a+2c+\left(-8a-2c\right)⋮5\)

=> \(-6ac⋮5.\)

Mà 6 không chia hết cho 5

=> \(a⋮5.\)

=> \(c⋮5.\).

Chúc bạn học tốt!

\(f\left(0\right)=c\) mà \(f\left(0\right)⋮2011\Rightarrow c⋮2011\)

\(f\left(1\right)⋮2011\Rightarrow a+b+c⋮2011\Rightarrow a+b⋮2011\)

\(f\left(-1\right)⋮2011\Rightarrow a-b+c⋮2011\Rightarrow a-b⋮2011\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)⋮2011\Rightarrow2a⋮2011\)

Mà 2 và 2011 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow a⋮2011\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a⋮2011\\a+b⋮2011\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b⋮2011\)

F(0)=d⇒d⋮5F(0)=d⇒d⋮5

F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5

F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5

⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5

⇒2b⋮5⇒b⋮5⇒2b⋮5⇒b⋮5

⇒a+c⋮5

ta có: F(x) chia hết 5 => F(0)= a.0^3 + b.0^2 + c.0 + d chia hết 5

=> 0+0+0+d chia hết cho 5 => d chia hết 5

ta có: F(1)= a.1^3 + b.1^2 +c.1 + d chia hết 5

=> a+b+c+d chia hết 5

Mà d chia hết 5 => a+b+c chia hết 5               (1)

ta có:F(-1)= a.(-1)^3 + b.(-1)^2 + c.(-1) +d chia hết 5

=> -a+b-c+d chia hết 5

Mà d chia hết 5 => -a+b-c chia hết 5              (2)

Từ (1) và (2) => (a+b+c)+(-a+b-c) chia hết 5

=> a+b+c-a+b-c chia hết 5 => 2b chia hết 5 => b chia hết 5

Từ (1) và (2) => (a+b+c)-(-a+b-c) chia hêt 5

=> a+b+c+a-b+c chia hết 5 => 2a+2c chia hết 5              (3)

ta có: F(2)= a.2^3 + b.2^2 + c.2 +d chia hết 5

=> 8a+4b+2c+d chia hết 5

Mà b,d chia hết 5 => 8a+2c chia hết 5                             (4)

Từ (3) và (4) => (8a+2c)-(2a+2c) chia hết 5 => 6a chia hết 5 => a chia hết 5

=> c chia hết 5

Vậy...

Đúng thì k nha mina !!