Question

Cho đa thức A(x)=Ax³+Bx²+cx+D

Biết Ax luôn chia hết cho 5 với mọi x thuộc z.

C/M:ABCD cũng chia hết cho 5

Answer 1

Có \(A\left(x\right)⋮5\) \(\forall x.\)

=> \(A\left(0\right)=d⋮5\)

\(A\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\)

\(A\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\)

\(A\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)

\(A\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

=> \(a+b+c⋮5\) và \(-a+b-c⋮5.\)

=> \(a+b+c+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

=> \(2b⋮5.\)

Mà 2 là số nguyên tố và b nguyên

=> \(b⋮5\left(đpcm\right)\)

=> \(a+c⋮5;-a-c⋮5;8a+2c⋮5;-8a-2c⋮5\)

=> \(2.\left(a+c\right)⋮5\)

=> \(2a+2c⋮5\)

=> \(2a+2c+\left(-8a-2c\right)⋮5\)

=> \(-6ac⋮5.\)

Mà 6 không chia hết cho 5

=> \(a⋮5.\)

=> \(c⋮5.\).

Chúc bạn học tốt!