Question

Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức f(x)=ax^2+bx+c chia hết cho 2011 với mọi x thuộc Z(a,b,c,d thuộc Z) thì các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2011

Answer 1

\(f\left(0\right)=c\) mà \(f\left(0\right)⋮2011\Rightarrow c⋮2011\)

\(f\left(1\right)⋮2011\Rightarrow a+b+c⋮2011\Rightarrow a+b⋮2011\)

\(f\left(-1\right)⋮2011\Rightarrow a-b+c⋮2011\Rightarrow a-b⋮2011\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)⋮2011\Rightarrow2a⋮2011\)

Mà 2 và 2011 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow a⋮2011\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a⋮2011\\a+b⋮2011\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b⋮2011\)