\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}\left(a+c\right)^2+\frac{\left(a-c-2b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = -c

Vậy..

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab-2bc-2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=-c\)

a)a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

=>a²+b²+c²+1+1+1-2a-2b-2c=0

=>(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1 

-->Đpcm

b)(a+b+c)²=3(ab+ac+bc)

=>a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0 

=>a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

=>2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0 

=>(a²- 2ab+b²)+(b²-2bc+c²) + (c²-2ca+a²) = 0

=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

c)a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

=>2a²+2b²+c²=2ab+2bc+2ca

=>2a²+2b²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ca+c²)=0

=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

a) Ta có : \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\) nên pt trên tương đương với \(\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\) (1)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)

c) Giải tương tự câu b) , bắt đầu từ (1)

Ta có :

ab - ac + bc - c² = -1

\(\Leftrightarrow\)a . ( b - c ) + c . ( b - c ) = -1

\(\Leftrightarrow\)( a + c ) . ( b - c ) = -1

\(\Leftrightarrow\)b - c và a + c phải khác dấu tức là b - c = - ( a + b )

\(\Leftrightarrow\)b - c = -a - c

\(\Leftrightarrow\)b = -a

Vậy a và b là hai số đối nhau

Từ a+b=c +d suy ra d = a+b-c

Vì tích ab là số liền sau của tích cd nên ab-cd = 1

\(\Leftrightarrow\)ab - c.(a+b-c)=1

\(\Leftrightarrow\)ab - ac - bc + c^{2 = 1} 

^{\(\Leftrightarrow\)}a.(b-c)-c.(b-c)=1

\(\Leftrightarrow\)(b-c).(a-c)=1

\(\Rightarrow\)a-c=b-c (vì cùng bằng 1 hoặc -1 ) 

\(\Rightarrow\)a=b

mình nha 

1) a² +b² +c²>= ab +bc +ca <=> 2a² +2b² +2c² >=2ab +2bc +2ca <=> 2a² +2b² +2c² -2ab -2bc -2ca >= 0

<=> (a -b)² +(b -c)² + (c -a)² >= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)

2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)

tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)

Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm

3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)² = 0 => a² +b² +c² +2ab -2bc -2ca = 0

=> a² +b² +c² = 2bc + 2ca -2ab => (a² +b² +c²)² = (2bc +2ca -2ab)² 

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ +2a²b² +2b²c² +2c²a² = 4b²c² +4c²a² +4a²b² +4abc²-4a²bc - 4ab²c

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ -2a²b² -2b²c² -2c²a² = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0

Vậy a⁴ +b⁴ +c⁴ = 2a²b² +2b²c² +2c²a²

Mọi người giúp  mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí.  Thanhks trước. 

Bài 1: cho a, b, c thuộc  R.

Chứng minh a² + b² + c²  >=  ab+ac+bc

Bài 2:cho a, b, c >0.

 Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c

Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.  

Chứng  minh  a⁴  +b⁴ +c⁴  =2a²b² +2b²c² + 2a²c²