Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

\(\Delta>0< =>\left(-2\right)^2-4\left(-m\right)>0\)

\(< =>4+4m>0\)

\(< =>4m>-4\)

\(< =>m>-1\)

Xét phương trình đã cho có dạng: $ax^2+bx+c=0$ với \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\ne0\\b=3m+2\\c=3m+1\end{matrix}\right.\)

suy ra phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn $x$

Có $Δ=b^2-4ac=(3m+2)^2-4.(3m+1).1=9m^2=(3m)^2 \geq 0$ với mọi $m$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $⇔m \neq 0$

nên phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1;x_2$ với

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt[]{ Δ}}{2a}=\dfrac{-(3m+2)-3m}{2}=-3m-1$

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt[]{Δ}}{2a}=\dfrac{-(3m+2)+3m}{2}=-1$

Nên phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 $⇔-3m-1<2⇔m>-1$

Vậy $m>-1;m \neq 0$ thỏa mãn đề

Ta có: \(\text{Δ}=\left(3m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(3m+1\right)\)

\(=9m^2+12m+4-12m-4\)

\(=9m^2\ge0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có 2 nghiệm

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(9m^2\ne0\)

hay \(m\ne0\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-3m-2}{1}=-3m-2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{3m+1}{1}=3m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1< 2\\x_2< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4>0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m+1-2\left(-3m-2\right)+4>0\\-3m-2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m+1+6m+4+4>0\\-3m< 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9m>-9\\m< -2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m< -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-3< m< -2\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: -3<m<-2

Vậy: -3<m<-2

\(\text{Δ}=\left(2m-6\right)^2-4\left(m^2+3m+2\right)\)

\(=4m^2-24m+36-4m^2-12m-8=-36m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm thì -36m+28>=0

=>-36m>=-28

hay m<=7/9

Theo đề, ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=100\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m-6}{m+1}\right)^2-2\cdot\dfrac{m+2}{m+1}=100\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-6\right)^2-2\left(m^2+3m+2\right)}{\left(m+1\right)^2}=100\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m+36-2m^2-6m-4=100\left(m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow50\left(m+1\right)^2=m^2-15m+16\)

\(\Leftrightarrow50m^2+100m+50-m^2+15m-16=0\)

\(\Leftrightarrow49m^2+115m+34=0\)

\(\text{Δ}=115^2-4\cdot49\cdot34=6561\)

Vì Δ>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-115-81}{2\cdot49}=-2\left(nhận\right)\\m_2=\dfrac{-115+81}{2\cdot49}=-\dfrac{17}{49}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm khác 0:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)\ge0\\x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ne\pm1\)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}>-\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+\frac{5}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2}{2x_1x_2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{8\left(\frac{m}{m-1}\right)^2+\frac{m+1}{m-1}}{\frac{2\left(m+1\right)}{m-1}}>0\Leftrightarrow\frac{\frac{8m^2}{m-1}+m+1}{2\left(m+1\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9m^2-1}{2\left(m-1\right)\left(m+1\right)}>0\Leftrightarrow\frac{\left(3m-1\right)\left(3m+1\right)}{2\left(m-1\right)\left(m+1\right)}>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\-\frac{1}{3}< m< \frac{1}{3}\\m>1\end{matrix}\right.\)