Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Phạm Ngọc Linhhh
Xem chi tiết
Nguyễn Phạm Ngọc Linhhh
Xem chi tiết
Nina the killer
Xem chi tiết
trần vũ hoàng phúc
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
10 tháng 6 2023 lúc 7:58

Ta cần chứng minh: 

\(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(1\right)\left(a,b>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\le\dfrac{a+b}{ab}\\ \Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

\(DBXR\Leftrightarrow a=b\)

Do các phép biến đổi tương đương nên (1) luôn đúng

Áp dụng (1), ta có:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)

Cộng từng vế BĐT, ta được:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)Hay \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\left(đpcm\right)\)

\(DBXR\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)

nguyễn minh quý
Xem chi tiết
Phùng Thị Lan Hương
Xem chi tiết
T. M
Xem chi tiết
Akai Haruma
15 tháng 12 2022 lúc 19:45

Lời giải:

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1$

$\Rightarrow x=y; y=z; z=x\Rightarrow x=y=z$

Khi đó:

$|x+y|=|z-1|$

$\Leftrightarrow |2x|=|x-1|$

$\Rightarrow 2x=x-1$ hoặc $2x=-(x-1)$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$ (đều thỏa mãn)

Vậy $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$ hoặc $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Nguyễn Hoàng Danh
Xem chi tiết
ミ★ήɠọς τɾίếτ★彡
5 tháng 8 2021 lúc 14:45

ÁP dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=y\\y=z\\x=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{2022}{3}=674\)

\(\Rightarrow\left(x,y,x\right)=674\)

Rhider
Xem chi tiết