1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

1.  x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)

2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)

3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)

áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)

x=1 nhe nhap minh di ma ket ban voi minh nhe

a: =>x^2+10xy+25y^2+y^2-14y+49=0

=>(x+5y)^2+(y-7)^2=0

=>y-7=0 và x+5y=0

=>y=7 và x=-5y=-35

b: A=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)+2044

=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)+2044

=(x^2+5x)^2-36+2044

=(x^2+5x)^2+2008>=2008

Dấu = xảy ra khi x=0 hoặc x=-5

1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4 
--> Pmin=4 khi x=4

2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1

=> M=2x²-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t²-5)+t+6

<=> M=2t²+t-4\(\ge\)2.1²+1-4=-1

M_min=-1 khi t=1 hay x=2

A=\(\dfrac{4-2x+2x}{2-x}\)+\(\dfrac{100}{x}\)+2022

A= 2 +\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{100}{x}\)-50 +2072

A=\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\)+2074

Tác có x>0 => 2x>0

            x<2 => 2-x>0

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\)  + 2074 >= 2\(\sqrt{\dfrac{2x.50\left(2-x\right)}{x\left(2-x\right)}}\) + 2074

                                            = 20 + 2074 = 2094

Vậy A >= 2094 và dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{2x}{2-x}\)=\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\) => x= 5/3

1. Ta có : \(A=\frac{\left(x+4\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+13x+36}{x}=x+\frac{36}{x}+13\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{36}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{36}{x}}=12\)

\(\Rightarrow A\ge25\)

Vậy Min A = 25 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{36}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=6\)

2. \(B=\frac{\left(x+100\right)^2}{x}=\frac{x^2+200x+100^2}{x}=x+\frac{100^2}{x}+200\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{100^2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{100^2}{x}}=200\)

\(\Rightarrow B\ge400\)

Vậy Min B = 400 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{100^2}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=100\)